Uma formiga está percorrendo o plano
seguindo a trajetória da seguinte curva paramétrica
Determine a distância percorrida pela formiga desde o tempo
até o tempo
.
Determine a distância percorrida pela formiga desde o tempo
Passo 1
Entender o que o problema pede e listar os dados. O enunciado dá a trajetória paramétrica da formiga no plano
:
e pede a distância percorrida desde o tempo
até
. Ou seja, precisamos calcular o comprimento de arco da curva paramétrica no intervalo
.
Passo 2
Recordando a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas: se uma curva é dada por
e
com
em
, a distância percorrida
é
Explicação da fórmula (rápida e intuitiva):
é o vetor velocidade; o comprimento infinitesimal percorrido em
é a norma desse vetor vezes
. Por isso somamos (integrando)
de
até
.
Passo 3
Calcular as derivadas
e
. Usamos a regra do poder:
.
Cada passo: ao derivar
multiplica-se o expoente por coeficiente (
) e reduz-se o expoente em 1; idem para
.
Passo 4
Montar a soma dos quadrados das derivadas e simplificar:
Fatorando
:
Agora a raiz quadrada que aparece na fórmula do comprimento é
Passo 5
Tratar o fator
. Em geral
. Assim
Como estamos integrando em
, temos
, logo
. Portanto o integrando simplifica para
Passo 6
Escrever a integral do comprimento e resolver por substituição. A distância procurada é
Fazemos a substituição
. Então
, ou seja
.
Quando temos
. Quando
temos
.
Quando
Substituindo na integral:
Passo 7
Calcular a primitiva e avaliar. A primitiva de
é
. Portanto
Lembrando que
, podemos escrever