Uma formiga está percorrendo o plano x y seguindo a trajetória da seguinte curva paramétrica
x(t)=-6-4 t^{3}
y(t)=-6 t^{2}+13
Determine a distância percorrida pela formiga desde o tempo t=0 até o tempo t=1.

Passo 1

Entender o que o problema pede e listar os dados. O enunciado dá a trajetória paramétrica da formiga no plano xy:
x(t) = -6 - 4t^{3}, \qquad y(t) = -6t^{2} + 13,
e pede a distância percorrida desde o tempo t=0 até t=1. Ou seja, precisamos calcular o comprimento de arco da curva paramétrica no intervalo t\in[0,1].

Passo 2

Recordando a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas: se uma curva é dada por x(t) e y(t) com t em [a,b], a distância percorrida S é
S=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.
Explicação da fórmula (rápida e intuitiva): \bigl(x'(t),y'(t)\bigr) é o vetor velocidade; o comprimento infinitesimal percorrido em dt é a norma desse vetor vezes dt. Por isso somamos (integrando) \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} de a até b.

Passo 3

Calcular as derivadas x'(t) e y'(t). Usamos a regra do poder: \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}.
x(t) = -6 - 4t^{3} \quad\Rightarrow\quad x'(t)=\dfrac{d}{dt}(-4t^{3}) = -12t^{2}.
y(t) = -6t^{2} + 13 \quad\Rightarrow\quad y'(t)=\dfrac{d}{dt}(-6t^{2}) = -12t.
Cada passo: ao derivar -4t^{3} multiplica-se o expoente por coeficiente ( 3\cdot -4=-12) e reduz-se o expoente em 1; idem para -6t^{2}.

Passo 4

Montar a soma dos quadrados das derivadas e simplificar:
\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}=(-12t^{2})^{2}+(-12t)^{2}=144t^{4}+144t^{2}.
Fatorando 144t^{2}:
144t^{4}+144t^{2}=144t^{2}\bigl(t^{2}+1\bigr).
Agora a raiz quadrada que aparece na fórmula do comprimento é
\sqrt{144t^{2}\bigl(t^{2}+1\bigr)}=12\,\sqrt{t^{2}\bigl(t^{2}+1\bigr)}.

Passo 5

Tratar o fator \sqrt{t^{2}}. Em geral \sqrt{t^{2}}=|t|. Assim
\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}=12\,|t|\,\sqrt{t^{2}+1}.
Como estamos integrando em t\in[0,1], temos t\ge 0, logo |t|=t. Portanto o integrando simplifica para
12\,t\,\sqrt{t^{2}+1}.

Passo 6

Escrever a integral do comprimento e resolver por substituição. A distância procurada é
S=\int_{0}^{1}12\,t\,\sqrt{t^{2}+1}\;dt.
Fazemos a substituição u=t^{2}+1. Então du=2t\,dt, ou seja t\,dt=\dfrac{du}{2}.
Quando t=0 temos u=0^{2}+1=1. Quando t=1 temos u=1^{2}+1=2.
Substituindo na integral:
S=12\int_{0}^{1}t\,(t^{2}+1)^{1/2}\,dt =12\int_{u=1}^{u=2}(u)^{1/2}\cdot\frac{du}{2} =6\int_{1}^{2}u^{1/2}\,du.

Passo 7

Calcular a primitiva e avaliar. A primitiva de u^{1/2} é \dfrac{2}{3}u^{3/2}. Portanto
S=6\left[\dfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{2} =6\cdot\dfrac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1^{3/2}\bigr) =4\bigl(2^{3/2}-1\bigr).
Lembrando que 2^{3/2}=2\sqrt{2}, podemos escrever
S=4\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr)=8\sqrt{2}-4.

Resposta

8\sqrt{2}-4

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