Considere os vetores \vec{u}=(1,2,1), \vec{v}=(k, 0, k) e \vec{w}=(3,1,2) que determinam um paralelepípedo de volume 2 . Calcule os valores de k

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,2,1), \vec{v}=(k,0,k) e \vec{w}=(3,1,2) e afirma que eles determinam um paralelepípedo cujo volume vale 2. A pergunta é: calcular os valores de k que tornam o volume igual a 2.
Informações relevantes:
\vec{u}=(1,2,1)
\vec{v}=(k,0,k)
\vec{w}=(3,1,2)
Volume do paralelepípedo formado por \vec{u},\vec{v},\vec{w} é 2.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar: o volume V do paralelepípedo determinado por três vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto misto (scalar triple product)
V = \left|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\right|.
Esse produto misto pode ser calculado como o determinante 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas dos vetores:
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = \det \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\[4pt] b_1 & b_2 & b_3\\[4pt] c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}.
Aqui cada a_i,b_i,c_i é a coordenada correspondente dos vetores. Para o volume só interessa o valor absoluto desse determinante.]

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, podemos montar a matriz com as linhas sendo \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] k & 0 & k\\[4pt] 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
O produto misto é \det(M) e o volume é |\det(M)|. Como o volume dado é 2, temos a equação
|\det(M)|=2.]

Passo 4

Vamos calcular o determinante \det(M) passo a passo usando a regra de Sarrus/expansão por cofatores na primeira linha. Expandindo pela primeira linha:
\det(M)=1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & k\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}k & k\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}k & 0\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}.
Agora calculo cada menor 2\times2:
\det\begin{pmatrix}0 & k\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} = 0\cdot2 - k\cdot1 = -k,
\det\begin{pmatrix}k & k\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix} = k\cdot2 - k\cdot3 = 2k-3k = -k,
\det\begin{pmatrix}k & 0\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix} = k\cdot1 - 0\cdot3 = k.]

Passo 5

Substituindo esses valores na expansão:
\det(M)=1\cdot(-k) - 2\cdot(-k) + 1\cdot(k) = -k + 2k + k = 2k.
Portanto o produto misto (ou determinante) é \det(M)=2k.

Passo 6

Como o volume é o valor absoluto do determinante, impomos
|\det(M)| = |2k| = 2.
Resolver |2k|=2 é equivalente a |k|=1, porque podemos dividir ambos os lados por 2 (note que 2>0). A equação |k|=1 tem duas soluções:
k=1 \quad\text{ou}\quad k=-1.

Passo 7

Conclusão: os valores de k que fazem o volume do paralelepípedo igual a 2 são k=1 e k=-1. Você pode checar rapidamente substituindo: se k=1 ou k=-1, \det(M)=2 ou -2 respectivamente, e em ambos os casos |\det(M)|=2.

Resposta

k=1
k=-1

Exercícios relacionados