Sejam os pontos A=(2,2), B=(n,-n) e C=(3,-1), com n>0. Sabendo que o triângulo A B C é isósceles com de base \overline{B C}, calcule sua área.
Passo 1
O enunciado dá os pontos A=(2,2), B=(n,-n) e C=(3,-1), com n>0. Pede-se: calcular a área do triângulo ABC, sabendo que ele é isósceles com base \overline{BC}.
O triângulo é isósceles com base \overline{BC}. Isso significa que os dois lados que não são a base (os lados que partem de A) são congruentes, ou seja, AB=AC.
Passo 2
Primeiro precisamos encontrar o valor de n. Para isso usamos a igualdade de comprimentos AB=AC.
Vou explicar a fórmula de distância entre dois pontos no plano: dados dois pontos P=(x_1,y_1) e Q=(x_2,y_2), a distância PQ é
PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Isso vem diretamente do Teorema de Pitágoras: a diferença de coordenadas forma os catetos de um triângulo retângulo.
Como o triângulo é isósceles com base BC, igualamos AB e AC:
\sqrt{2(n^2+4)}=\sqrt{10}.
Para eliminar as raízes, elevamos ambos os lados ao quadrado (isso é seguro porque as distâncias são não-negativas):
2(n^2+4)=10.
Agora resolvemos:
n^2+4=5 \quad\Rightarrow\quad n^2=1.
Como foi dado n>0, temos
n=1.
Passo 5
Agora com n=1 temos os pontos:
A=(2,2),\qquad B=(1,-1),\qquad C=(3,-1).
Queremos a área do triângulo ABC. Uma forma prática e muito usada em provas é usar o determinante (fórmula do produto vetorial em 2D): se tomamos os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}, a área do triângulo é
Explicando: geometrically, o valor absoluto desse determinante dá a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}; o triângulo é metade desse paralelogramo, daí o fator \tfrac{1}{2}.