Sejam os pontos A=(2,2), B=(n,-n) e C=(3,-1), com n>0. Sabendo que o triângulo A B C é isósceles com de base \overline{B C}, calcule sua área.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(2,2), B=(n,-n) e C=(3,-1), com n>0. Pede-se: calcular a área do triângulo ABC, sabendo que ele é isósceles com base \overline{BC}.
Informações relevantes:
A=(2,2),\qquad B=(n,-n),\qquad C=(3,-1),\qquad n>0.
O triângulo é isósceles com base \overline{BC}. Isso significa que os dois lados que não são a base (os lados que partem de A) são congruentes, ou seja, AB=AC.

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar o valor de n. Para isso usamos a igualdade de comprimentos AB=AC.
Vou explicar a fórmula de distância entre dois pontos no plano: dados dois pontos P=(x_1,y_1) e Q=(x_2,y_2), a distância PQ é
PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Isso vem diretamente do Teorema de Pitágoras: a diferença de coordenadas forma os catetos de um triângulo retângulo.
Aplicando a fórmula a AB e AC:
AB=\sqrt{(n-2)^2+(-n-2)^2},
AC=\sqrt{(3-2)^2+(-1-2)^2}.

Passo 3

Calculo AC (mais simples) explicitamente:
AC=\sqrt{(3-2)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{1^2+(-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}.
Agora AB:
AB=\sqrt{(n-2)^2+(-n-2)^2}.
Vamos simplificar o radicando:
(n-2)^2+(-n-2)^2=(n-2)^2+(n+2)^2.
Explicando a expansão passo a passo:
(n-2)^2=n^2-4n+4,\qquad (n+2)^2=n^2+4n+4.
Somando:
(n^2-4n+4)+(n^2+4n+4)=2n^2+8=2(n^2+4).
Portanto
AB=\sqrt{2(n^2+4)}.

Passo 4

Como o triângulo é isósceles com base BC, igualamos AB e AC:
\sqrt{2(n^2+4)}=\sqrt{10}.
Para eliminar as raízes, elevamos ambos os lados ao quadrado (isso é seguro porque as distâncias são não-negativas):
2(n^2+4)=10.
Agora resolvemos:
n^2+4=5 \quad\Rightarrow\quad n^2=1.
Como foi dado n>0, temos
n=1.

Passo 5

Agora com n=1 temos os pontos:
A=(2,2),\qquad B=(1,-1),\qquad C=(3,-1).
Queremos a área do triângulo ABC. Uma forma prática e muito usada em provas é usar o determinante (fórmula do produto vetorial em 2D): se tomamos os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}, a área do triângulo é
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\big|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big|,Á
onde, em 2D, o “produto vetorial” resulta num escalar que é o determinante
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=u_x v_y - u_y v_x.
Explicando: geometrically, o valor absoluto desse determinante dá a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}; o triângulo é metade desse paralelogramo, daí o fator \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Calculo os vetores:
\overrightarrow{AB}=B-A=(1-2,\,-1-2)=(-1,-3),
\overrightarrow{AC}=C-A=(3-2,\,-1-2)=(1,-3).
O determinante é
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-1)\cdot(-3)-(-3)\cdot 1=3-(-3)=6.
Tomando o valor absoluto e metade:
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\cdot |6|=3.Á

Resposta

3

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