Considere os vetores \vec{u}=(1,2,1), \vec{v}=(k, 0, k) e \vec{w}=(3,1,2) que determinam um paralelepípedo de volume 2 . Calcule os valores de k
Passo 1
O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,2,1), \vec{v}=(k,0,k) e \vec{w}=(3,1,2) e afirma que eles determinam um paralelepípedo cujo volume vale 2. A pergunta é: calcular os valores de k que tornam o volume igual a 2.
Informações relevantes: \vec{u}=(1,2,1) \vec{v}=(k,0,k) \vec{w}=(3,1,2)
Volume do paralelepípedo formado por \vec{u},\vec{v},\vec{w} é 2.
Passo 2
Conceito importante que vamos usar: o volume V do paralelepípedo determinado por três vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto misto (scalar triple product)
V = \left|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\right|.
Esse produto misto pode ser calculado como o determinante 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas dos vetores:
Portanto o produto misto (ou determinante) é \det(M)=2k.
Passo 6
Como o volume é o valor absoluto do determinante, impomos
|\det(M)| = |2k| = 2.
Resolver |2k|=2 é equivalente a |k|=1, porque podemos dividir ambos os lados por 2 (note que 2>0). A equação |k|=1 tem duas soluções:
k=1 \quad\text{ou}\quad k=-1.
Passo 7
Conclusão: os valores de k que fazem o volume do paralelepípedo igual a 2 são k=1 e k=-1. Você pode checar rapidamente substituindo: se k=1 ou k=-1, \det(M)=2 ou -2 respectivamente, e em ambos os casos |\det(M)|=2.