Considere os vetores vec{u}=(1,0,1), \vec{v}=(0,-2,1) e vec{w}=(1,4,0) relativos a uma base ortonormal B. Determine:
A área do paralelogramo determinado pelos vetores \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,0,1) e \vec{v}=(0,-2,1) em uma base ortonormal B e pede a área do paralelogramo formado por eles. Em geometria vetorial em \mathbb{R}^3, essa área é dada pela norma do produto vetorial \|\vec{u}\times\vec{v}\|.

Passo 2

Vamos calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Usando a fórmula componente a componente:
\vec{u}\times\vec{v} = \bigl(u_2v_3 - u_3v_2,\;u_3v_1 - u_1v_3,\;u_1v_2 - u_2v_1\bigr).
Substituindo u_1=1, u_2=0, u_3=1 e v_1=0, v_2=-2, v_3=1, temos
\vec{u}\times\vec{v} = \bigl(0\cdot1 - 1\cdot(-2),\;1\cdot0 - 1\cdot1,\;1\cdot(-2) - 0\cdot0\bigr) = (2,\,-1,\,-2).

Passo 3

Agora calculamos a norma de \vec{u}\times\vec{v}:
\|\vec{u}\times\vec{v}\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3.

Resposta

A área do paralelogramo determinado por \vec{u} e \vec{v} é 3.

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