Considere os vetores vec{u}=(1,0,1), \vec{v}=(0,-2,1) e vec{w}=(1,4,0) relativos a uma base ortonormal B. Determine:
O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores \vec{v}, \vec{u} e \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá os vetores na base ortonormal B: \vec{u}=(1,0,1), \vec{v}=(0,-2,1) e \vec{w}=(1,4,0).
Queremos o volume do paralelepípedo que esses vetores determinam em \mathbb{R}^3.
Conteúdo: produto misto (ou produto escalar triplo) e cálculo de determinante em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Sabemos que o volume V do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w} é dado por
V = \bigl|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\bigr|.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial \vec{v}\times\vec{w}.
Montamos o determinante
\vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 0 & -2 & 1 \\[3pt] 1 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\bigl((-2)\cdot0 - 1\cdot4\bigr) - \mathbf{j}\bigl(0\cdot0 - 1\cdot1\bigr) + \mathbf{k}\bigl(0\cdot4 - (-2)\cdot1\bigr).
Logo,
\vec{v}\times\vec{w} = (-4)\,\mathbf{i} - (-1)\,\mathbf{j} + (2)\,\mathbf{k} = (-4,\,1,\,2).]

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar de \vec{u} com \vec{v}\times\vec{w}:
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = (1,0,1)\cdot(-4,1,2) = 1\cdot(-4) + 0\cdot1 + 1\cdot2 = -4 + 2 = -2.
Portanto, o volume é
V = \bigl|\,-2\,\bigr| = 2.

Resposta

O volume do paralelepípedo é 2.

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