Considere as vibrações transversais de uma corda elásticas de densidade linear uniforme
sujeita a uma tensão uniforme
regidas pela equação diferencial
onde
são os deslocamentos da corda e
é a velocidade de propagação da onda na corda. Considere as seguintes condições de contorno
e
, mostre que os deslocamentos da corda é dado por
onde
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A equação da onda unidimensional para deslocamentos transversais
:
- Condições de contorno fixas nas extremidades:
- Condições iniciais:
O que se pede: mostrar que a solução é da forma
com
Passo 2
Tentamos separar variáveis assumindo uma solução do tipo
onde
depende só de
e
só de
. Substituindo na equação da onda:
Divide-se por
(assumindo
e
não identicamente nulos):
O lado esquerdo depende só de
e o direito só de
; portanto ambos devem ser iguais a uma mesma constante que chamamos de
:
Isso gera dois ODEs acoplados:
Passo 3
Analisamos os possíveis sinais de
para achar
não trivial que satisfaça
.
-
Caso
: então e . As condições e forçam , solução trivial . Rejeitamos. -
Caso
: escreva com . Então tem soluções exponenciais . As condições de contorno obrigam (outra vez trivial). Rejeitamos. -
Caso
: escreva com . Então
cuja solução geral é
Aplicando
dá
. Aplicando
dá
. Para ter
precisamos
, ou seja
Logo os autovalores são
e os autofuncionais espaciais (até constante multiplicativa) são
Observação importante (ortogonalidade): as funções
são ortogonais no intervalo
; isto é, para
e para
Essas propriedades são cruciais para determinar coeficientes mais adiante.
Passo 4
Para cada autovalor
a equação temporal fica
Com
isso é
A solução geral é
com constantes
dependentes das condições iniciais.
Passo 5
Como a equação é linear, a combinação linear (superposição) de modos é também solução. Assim a solução geral (soma sobre todos os modos não-triviais) é
Para simplificar notação define-se
e
, obtendo
Aqui
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Use a condição inicial de velocidade
. Calculamos a derivada temporal:
Em
isso vira
A condição
para todo
implica que cada coeficiente na expansão em funções ortogonais
deve ser zero. Como
para todo
, segue que
Portanto os termos com
desaparecem e ficamos com
Passo 7
Agora usamos a condição inicial de deslocamento
. Em
temos
, então
Isto é a expansão de
em série de senos (série de Fourier senoidal) no intervalo
. Para encontrar
usamos a ortogonalidade das senos: multiplique ambos os lados por
e integre de
a
:
Pelo fato da ortogonalidade, todos os termos do somatório se anulam, exceto o termo
. Usando
obtemos
Isolando
vem
válido para todo
. Isto determina todos os coeficientes em termos de
.
Passo 8
Resumo do que fizemos e interpretação física curta (para motivar): a separação de variáveis fornece modos normais espaciais
que vibram no tempo com frequência
. A condição de velocidade nula no instante inicial elimina os termos de fase senoidal temporal, deixando apenas os termos em
. Os coeficientes
são as amplitudes determinadas pela decomposição de
na base ortogonal de senos; a fórmula encontrada é a expressão padrão da série de Fourier seno.