Considere as vibrações transversais de uma corda elásticas de densidade linear uniforme \rho sujeita a uma tensão uniforme \tau regidas pela equação diferencial
\frac{\partial^{2} y(x, t)}{\partial x^{2}}-\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y(x, t)}{\partial t^{2}}=0
onde y(x, t) são os deslocamentos da corda e v=\left(\frac{\tau}{\rho}\right)^{1 / 2} é a velocidade de propagação da onda na corda. Considere as seguintes condições de contorno y(0, t)=y(\ell, t)=0 ; \frac{\partial y(x, 0)}{\partial t}=0 e y(x, 0)=f(x), mostre que os deslocamentos da corda é dado por
y(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \sin \left(\frac{n \pi}{\ell} x\right) \cos \left(\frac{n \pi}{\ell} v t\right)
onde
A_{n}=\frac{2}{\ell} \int_{0}^{\ell} f(x) \sin \left(\frac{n \pi}{\ell} x\right) d x

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A equação da onda unidimensional para deslocamentos transversais y(x,t):
\frac{\partial^{2} y(x, t)}{\partial x^{2}}-\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y(x, t)}{\partial t^{2}}=0.
  • Condições de contorno fixas nas extremidades:
y(0,t)=0,\qquad y(\ell,t)=0\quad\text{para todo }t.
  • Condições iniciais:
y(x,0)=f(x),\qquad \frac{\partial y(x,0)}{\partial t}=0.
O que se pede: mostrar que a solução é da forma
y(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \sin\!\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right)\cos\!\left(\frac{n\pi}{\ell}vt\right)
com
A_{n}=\frac{2}{\ell}\int_{0}^{\ell} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right)\,dx.

Passo 2

Tentamos separar variáveis assumindo uma solução do tipo
y(x,t)=X(x)\,T(t),
onde X depende só de x e T só de t. Substituindo na equação da onda:
\frac{d^{2}X}{dx^{2}}T(t)-\frac{1}{v^{2}}X(x)\frac{d^{2}T}{dt^{2}}=0.
Divide-se por X(x)T(t) (assumindo X e T não identicamente nulos):
\frac{1}{X}\frac{d^{2}X}{dx^{2}}=\frac{1}{v^{2}T}\frac{d^{2}T}{dt^{2}}.
O lado esquerdo depende só de x e o direito só de t; portanto ambos devem ser iguais a uma mesma constante que chamamos de -\lambda:
\frac{1}{X}\frac{d^{2}X}{dx^{2}}=-\lambda,\qquad \frac{1}{v^{2}T}\frac{d^{2}T}{dt^{2}}=-\lambda.
Isso gera dois ODEs acoplados:
\frac{d^{2}X}{dx^{2}}+\lambda X=0, \qquad \frac{d^{2}T}{dt^{2}}+ \lambda v^{2} T=0.

Passo 3

Analisamos os possíveis sinais de \lambda para achar X não trivial que satisfaça X(0)=X(\ell)=0.
  • Caso \lambda=0: então X''=0 e X(x)=ax+b. As condições X(0)=0 e X(\ell)=0 forçam a=b=0, solução trivial X\equiv0. Rejeitamos.
  • Caso \lambda<0: escreva \lambda=-\mu^{2} com \mu>0. Então X''-\mu^{2}X=0 tem soluções exponenciais X=Ae^{\mu x}+Be^{-\mu x}. As condições de contorno obrigam A=B=0 (outra vez trivial). Rejeitamos.
  • Caso \lambda>0: escreva \lambda=k^{2} com k>0. Então
\frac{d^{2}X}{dx^{2}}+k^{2}X=0,
cuja solução geral é
X(x)=C\cos(kx)+D\sin(kx).
Aplicando X(0)=0 C=0. Aplicando X(\ell)=0 D\sin(k\ell)=0. Para ter X\not\equiv0 precisamos \sin(k\ell)=0, ou seja
k\ell = n\pi,\qquad n=1,2,3,\dots
Logo os autovalores são
\lambda_n = k_n^{2} = \left(\frac{n\pi}{\ell}\right)^{2},
e os autofuncionais espaciais (até constante multiplicativa) são
X_n(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right),\qquad n=1,2,\dots
Observação importante (ortogonalidade): as funções \sin\!\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right) são ortogonais no intervalo [0,\ell]; isto é, para m\neq n
\int_{0}^{\ell}\sin\!\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right)\sin\!\left(\frac{m\pi}{\ell}x\right)\,dx=0,
e para m=n
\int_{0}^{\ell}\sin^{2}\!\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right)\,dx=\frac{\ell}{2}.
Essas propriedades são cruciais para determinar coeficientes mais adiante.

Passo 4

Para cada autovalor \lambda_n a equação temporal fica
\frac{d^{2}T}{dt^{2}}+\lambda_n v^{2}T=0.
Com \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{\ell}\right)^{2} isso é
\frac{d^{2}T}{dt^{2}}+\omega_n^{2}T=0, \qquad \text{onde } \omega_n=\frac{n\pi}{\ell}v.
A solução geral é
T_n(t)=B_n\cos(\omega_n t)+C_n\sin(\omega_n t),
com constantes B_n,C_n dependentes das condições iniciais.

Passo 5

Como a equação é linear, a combinação linear (superposição) de modos é também solução. Assim a solução geral (soma sobre todos os modos não-triviais) é
y(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\big[ a_n\sin\!\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right)\big]\big[B_n\cos(\omega_n t)+C_n\sin(\omega_n t)\big].
Para simplificar notação define-se A_n\equiv a_n B_n e D_n\equiv a_n C_n, obtendo
y(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right)\big[A_n\cos(\omega_n t)+D_n\sin(\omega_n t)\big].
Aqui A_n e D_n são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Use a condição inicial de velocidade \partial y/\partial t|_{t=0}=0. Calculamos a derivada temporal:
\frac{\partial y}{\partial t}(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right)\big[-A_n\omega_n\sin(\omega_n t)+D_n\omega_n\cos(\omega_n t)\big].
Em t=0 isso vira
\frac{\partial y}{\partial t}(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right)D_n\omega_n.
A condição \partial y/\partial t(x,0)=0 para todo x\in[0,\ell] implica que cada coeficiente na expansão em funções ortogonais \sin\!\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right) deve ser zero. Como \omega_n\neq0 para todo n, segue que
D_n=0\quad\text{para todo }n.
Portanto os termos com \sin(\omega_n t) desaparecem e ficamos com
y(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\sin\!\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right)\cos(\omega_n t).

Passo 7

Agora usamos a condição inicial de deslocamento y(x,0)=f(x). Em t=0 temos \cos(\omega_n\cdot 0)=1, então
f(x)=y(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\sin\!\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right).
Isto é a expansão de f(x) em série de senos (série de Fourier senoidal) no intervalo [0,\ell]. Para encontrar A_n usamos a ortogonalidade das senos: multiplique ambos os lados por \sin\!\left(\frac{m\pi}{\ell}x\right) e integre de 0 a \ell:
\int_{0}^{\ell} f(x)\sin\!\left(\frac{m\pi}{\ell}x\right)\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\int_{0}^{\ell}\sin\!\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right)\sin\!\left(\frac{m\pi}{\ell}x\right)\,dx.
Pelo fato da ortogonalidade, todos os termos do somatório se anulam, exceto o termo n=m. Usando
\int_{0}^{\ell}\sin^{2}\!\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right)\,dx=\frac{\ell}{2},
obtemos
\int_{0}^{\ell} f(x)\sin\!\left(\frac{m\pi}{\ell}x\right)\,dx = A_{m}\frac{\ell}{2}.
Isolando A_m vem
A_{m}=\frac{2}{\ell}\int_{0}^{\ell} f(x)\sin\!\left(\frac{m\pi}{\ell}x\right)\,dx,
válido para todo m=1,2,\dots. Isto determina todos os coeficientes em termos de f.

Passo 8

Resumo do que fizemos e interpretação física curta (para motivar): a separação de variáveis fornece modos normais espaciais \sin\!\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right) que vibram no tempo com frequência \omega_n=\frac{n\pi v}{\ell}. A condição de velocidade nula no instante inicial elimina os termos de fase senoidal temporal, deixando apenas os termos em \cos(\omega_n t). Os coeficientes A_n são as amplitudes determinadas pela decomposição de f(x) na base ortogonal de senos; a fórmula encontrada é a expressão padrão da série de Fourier seno.

Resposta

y(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \sin\!\left(\frac{n \pi}{\ell} x\right) \cos\!\left(\frac{n \pi}{\ell} v t\right)
A_{n}=\frac{2}{\ell} \int_{0}^{\ell} f(x) \sin\!\left(\frac{n \pi}{\ell} x\right)\, d x

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