Considere um arco com abertura angular de 180 graus feito de material nao condutor, onde encontra-se uma distribuiçao de cargas dada por \lambda=k \cdot \operatorname{sen} \Theta, sendo k uma constante. Determine expressões para as componentes, xey, da força resultante sobre uma carga Q , colocada no centro de curvatura do arco.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (assumi alguns símbolos que o enunciado não especificou explicitamente; isso é comum em provas e eu explico tudo abaixo):
  • Há um arco de círculo de abertura angular 180^\circ (semicírculo).
  • A densidade linear de carga ao longo do arco é \lambda(\theta)=k\cdot\operatorname{sen}\theta, onde k é uma constante dada. (Pegamos essa expressão do enunciado.)
  • Uma carga pontual Q está colocada no centro de curvatura do arco (no centro do semicírculo).
  • O enunciado não informou o raio do arco; para poder dar uma resposta completa vou chamar o raio de \,R. A resposta ficará em termos de R, de k e de Q.
  • Constantes elétricas usadas: \varepsilon_0 (permitividade do vácuo). Definirei k_e=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}.
  • Escolho um sistema de coordenadas com origem no centro do arco (onde está Q), o eixo x apontando para a direita e o eixo y para cima. Vou medir o ângulo \theta a partir do eixo x no sentido anti-horário. Assim o semicírculo cobre \theta\in[0,\pi].
  • O que se pede: as expressões para as componentes F_x e F_y da força resultante sobre Q devido ao arco.

Passo 2

Revisão e fórmula básica (aula rápida e prática):
  • A lei de Coulomb para um elemento de carga dq a uma distância r da carga Q dá um vetor força diferencial
d\mathbf{F} = k_e\,\frac{Q\,dq}{r^2}\,\hat{r},
onde k_e=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, r é a distância entre Q e o elemento dq, e \hat{r} é o versor que aponta de Q até o elemento dq.
  • No nosso caso o elemento de carga do arco está a distância r=R do centro e o versor radial é
\hat{r}(\theta)=\cos\theta\,\hat{\mathbf{i}}+\operatorname{sen}\theta\,\hat{\mathbf{j}}.
  • A carga do elemento de comprimento de arco R\,d\theta é
dq=\lambda(\theta)\,R\,d\theta = k\cdot\operatorname{sen}\theta\;R\,d\theta.
Tudo isso segue diretamente da definição de densidade linear: \lambda = dq/ds e ds=R\,d\theta.

Passo 3

Escrevendo o diferencial de força vetor substituindo r=R e dq:
d\mathbf{F} = k_e\,\frac{Q\,(k\operatorname{sen}\theta\,R\,d\theta)}{R^2}\,\big(\cos\theta\,\hat{\mathbf{i}}+\operatorname{sen}\theta\,\hat{\mathbf{j}}\big).
Simplificando a constante R:
d\mathbf{F} = k_e\,\frac{Qk}{R}\,\operatorname{sen}\theta\,d\theta\;\big(\cos\theta\,\hat{\mathbf{i}}+\operatorname{sen}\theta\,\hat{\mathbf{j}}\big).
Portanto as componentes diferenciais são
dF_x = k_e\,\frac{Qk}{R}\,\operatorname{sen}\theta\cos\theta\,d\theta, \qquad dF_y = k_e\,\frac{Qk}{R}\,\operatorname{sen}^2\theta\,d\theta.

Passo 4

Agora integramos ao longo do semicírculo \theta\in[0,\pi].
Cálculo de F_x:
F_x = \int_{0}^{\pi} dF_x = k_e\,\frac{Qk}{R}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\theta\cos\theta\,d\theta.
Para resolver \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\theta\cos\theta\,d\theta uso a substituição u=\operatorname{sen}\theta, du=\cos\theta\,d\theta. Então
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\theta\cos\theta\,d\theta = \int_{u(0)}^{u(\pi)} u\,du = \int_{0}^{0} u\,du = 0,
pois \operatorname{sen} 0=0 e \operatorname{sen}\pi=0. Logo
F_x = 0.
Interpretação física curta: as contribuições horizontais do semicírculo se cancelam por simetria (o semicírculo é simétrico em relação ao eixo y).

Passo 5

Cálculo de F_y:
F_y = \int_{0}^{\pi} dF_y = k_e\,\frac{Qk}{R}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^2\theta\,d\theta.
Para integrar \operatorname{sen}^2\theta uso a identidade pitagórica transformada:
\operatorname{sen}^2\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Assim
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^2\theta\,d\theta = \int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\left[\theta - \frac{\operatorname{sen}(2\theta)}{2}\right]_{0}^{\pi}.
Avalificando os termos:
\left[\theta\right]_0^\pi = \pi,\qquad \left[\operatorname{sen}(2\theta)\right]_0^\pi = \operatorname{sen}(2\pi)-\operatorname{sen}(0)=0-0=0.
Portanto
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^2\theta\,d\theta = \frac{\pi}{2}.
Substituindo em F_y:
F_y = k_e\,\frac{Qk}{R}\cdot\frac{\pi}{2}.
Lembrete: k_e=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Se Q e k forem positivos, F_y aponta para cima (sentido positivo de y). Se o produto Qk for negativo, o sentido será invertido.

Passo 6

Escrevendo as componentes finais e a força resultante em forma vetorial:
F_x = 0, \qquad F_y = k_e\,\frac{\pi\,k\,Q}{2R} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\pi k Q}{2R}.
E a força vetorial:
\mathbf{F} = F_y\,\hat{\mathbf{j}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\pi k Q}{2R}\,\hat{\mathbf{j}}.

Resposta

F_x = 0
F_y = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{\pi\,k\,Q}{2R}

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