Considere um arco com abertura angular de 180 graus feito de material nao condutor, onde encontra-se uma distribuiçao de cargas dada por
, sendo
uma constante. Determine expressões para as componentes, xey, da força resultante sobre uma carga Q , colocada no centro de curvatura do arco.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (assumi alguns símbolos que o enunciado não especificou explicitamente; isso é comum em provas e eu explico tudo abaixo):
- Há um arco de círculo de abertura angular
(semicírculo). - A densidade linear de carga ao longo do arco é
, onde é uma constante dada. (Pegamos essa expressão do enunciado.) - Uma carga pontual
está colocada no centro de curvatura do arco (no centro do semicírculo). - O enunciado não informou o raio do arco; para poder dar uma resposta completa vou chamar o raio de
. A resposta ficará em termos de , de e de . - Constantes elétricas usadas:
(permitividade do vácuo). Definirei . - Escolho um sistema de coordenadas com origem no centro do arco (onde está
), o eixo apontando para a direita e o eixo para cima. Vou medir o ângulo a partir do eixo no sentido anti-horário. Assim o semicírculo cobre . - O que se pede: as expressões para as componentes
e da força resultante sobre devido ao arco.
Passo 2
Revisão e fórmula básica (aula rápida e prática):
- A lei de Coulomb para um elemento de carga
a uma distância da carga dá um vetor força diferencial
onde
,
é a distância entre
e o elemento
, e
é o versor que aponta de
até o elemento
.
- No nosso caso o elemento de carga do arco está a distância
do centro e o versor radial é
- A carga do elemento de comprimento de arco
é
Tudo isso segue diretamente da definição de densidade linear:
e
.
Passo 3
Escrevendo o diferencial de força vetor substituindo
e
:
Simplificando a constante
:
Portanto as componentes diferenciais são
Passo 4
Agora integramos ao longo do semicírculo
.
Cálculo de
:
Para resolver
uso a substituição
,
. Então
pois
e
. Logo
Interpretação física curta: as contribuições horizontais do semicírculo se cancelam por simetria (o semicírculo é simétrico em relação ao eixo
).
Passo 5
Cálculo de
:
Para integrar
uso a identidade pitagórica transformada:
Assim
Avalificando os termos:
Portanto
Substituindo em
:
Lembrete:
. Se
e
forem positivos,
aponta para cima (sentido positivo de
). Se o produto
for negativo, o sentido será invertido.
Passo 6
Escrevendo as componentes finais e a força resultante em forma vetorial:
E a força vetorial: