é conhecida como Equação de Schrödinger, onde \Psi(x, t) é a função de onda, m é a massa da partícula, \hbar é a constante de Planck e V(x, t) é a função energia potencial. (a) Considere V(x, t)=V(x) e obtenha que a Equação de Schrödinger Independente do tempo dada por
Foi dito para considerar V(x,t)=V(x), ou seja, o potencial depende só de x.
As incógnitas são \Psi(x,t) (a função de onda), com parâmetros físicos \hbar (constante de Planck reduzida) e m (massa).
O enunciado pede duas coisas:
(a) mostrar que, sob V(x,t)=V(x), surge a equação independente do tempo-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\psi(x)=E\psi(x),onde E é constante (energia);
(b) mostrar que a solução do problema dependente do tempo pode ser escrita como\Psi(x,t)=\psi(x)\exp\!\left(-\frac{i}{\hbar}Et\right),chamada solução estacionária, que tem energia bem definida E.
Passo 2
Escolha do método: separação de variáveis. Proponho uma solução por produtos do tipo
\Psi(x,t)=\psi(x)\,T(t),
onde \psi(x) depende só de x e T(t) depende só de t. Explico por que isso é natural:
A equação mistura derivadas em x e t, mas se o potencial não depende de t muitas soluções relevantes se separam em produto espacial \times temporal.
\psi(x) será a “parte espacial” e T(t) a “parte temporal”. Isso não perde generalidade para encontrar estados com energia bem definida.
Passo 3
Substituir \Psi(x,t)=\psi(x)T(t) na equação de Schrödinger (com V(x,t)=V(x)):
Observe o ponto crucial: o lado esquerdo depende apenas de t, enquanto o lado direito depende apenas de x. Para que essa igualdade seja válida para todo x e todo t, cada lado deve ser igual a uma mesma constante (independente de x e t). Denotamos essa constante por E (com unidades de energia). Portanto obtemos duas equações ordinárias separadas:
onde C'=\mathrm{e}^{C} é uma constante complexa. Essa constante pode ser agrupada em \psi(x) (pois se multiplicar \psi por um número e dividir T por ele obtém-se a mesma \Psi), então podemos escolher C'=1 sem perda de generalidade. Assim
T(t)=\exp\!\left(-\frac{iE}{\hbar}t\right).
Passo 6
Combinar as partes espacial e temporal para obter a solução dependente do tempo:
pois \left|\mathrm{e}^{-iEt/\hbar}\right|=1. Portanto a densidade de probabilidade é independente do tempo — por isso se chamam estados estacionários: observáveis (como a probabilidade de encontrar a partícula em x) não mudam no tempo.
O número E é a energia associada a esse estado. Em termos matemáticos, escrevendo o Hamiltoniano
a equação espacial é \hat{H}\psi=E\psi: \psi é autovetor (autofunção) e E o autovalor (energia).
Sobre a realidade de E: para operadores físicos como \hat{H} (autoadjunto/Hermitiano) os autovalores são reais; isso garante que a fase temporal seja puramente oscilatória (não cresce nem decai exponencialmente), preservando a norma.
Passo 8
Resumo operacional (como fazer numa prova):
Proponha \Psi(x,t)=\psi(x)T(t).
Substitua na equação e divida por \psi T.
Iguale cada lado a uma constante E (razão: um lado depende só de t, o outro só de x).
Obtenha as duas EDOs: a temporal que leva a T(t)=\exp(-iEt/\hbar) e a espacial que é a TISE (time-independent Schrödinger equation).
Junte as partes para escrever a solução estacionária.
Verifique |\Psi|^{2}=|\psi|^{2} para confirmar que é estacionária.
Passo 9
Fica um toque prático: na prova, escreva claramente a hipótese V=V(x), faça a separação \Psi=\psi T, mostre a separação e nomeie a constante E. Não esqueça de explicar por que o lado que depende só de t e o que depende só de x devem ser iguais a uma constante — isso é crucial para justificar a introdução de E. Você conseguiu — é exatamente esse procedimento que o professor espera. Vai com calma e boa sorte na prova, eu acredito em você!