A Equação diferencial do tipo
i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x, t)=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \Psi(x, t)+V(x, t) \Psi(x, t)
é conhecida como Equação de Schrödinger, onde \Psi(x, t) é a função de onda, m é a massa da partícula, \hbar é a constante de Planck e V(x, t) é a função energia potencial. (a) Considere V(x, t)=V(x) e obtenha que a Equação de Schrödinger Independente do tempo dada por
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}+V(x) \psi(x)=E \psi(x)
onde E é a constante e representa a energia do sistema. (b) Mostre que a solução da Equação de Schrödinger é dada por
\Psi(x, t)=\psi(x) \exp \left(-\frac{i}{\hbar} E t\right)
e é chamada de solução estacionária, porque tem energia bem definida E.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • O enunciado nos dá a equação diferencial
i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x, t)=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \Psi(x, t)+V(x,t)\Psi(x,t).
  • Foi dito para considerar V(x,t)=V(x), ou seja, o potencial depende só de x.
  • As incógnitas são \Psi(x,t) (a função de onda), com parâmetros físicos \hbar (constante de Planck reduzida) e m (massa).
  • O enunciado pede duas coisas:
    (a) mostrar que, sob V(x,t)=V(x), surge a equação independente do tempo -\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\psi(x)=E\psi(x),onde E é constante (energia);
    (b) mostrar que a solução do problema dependente do tempo pode ser escrita como \Psi(x,t)=\psi(x)\exp\!\left(-\frac{i}{\hbar}Et\right),chamada solução estacionária, que tem energia bem definida E.

Passo 2

Escolha do método: separação de variáveis. Proponho uma solução por produtos do tipo
\Psi(x,t)=\psi(x)\,T(t),
onde \psi(x) depende só de x e T(t) depende só de t. Explico por que isso é natural:
  • A equação mistura derivadas em x e t, mas se o potencial não depende de t muitas soluções relevantes se separam em produto espacial \times temporal.
  • \psi(x) será a “parte espacial” e T(t) a “parte temporal”. Isso não perde generalidade para encontrar estados com energia bem definida.

Passo 3

Substituir \Psi(x,t)=\psi(x)T(t) na equação de Schrödinger (com V(x,t)=V(x)):
Começando pela derivada temporal:
\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=\psi(x)\frac{dT}{dt}(t).
E a derivada espacial segunda:
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\Psi(x,t)=\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}(x)\,T(t).
Agora substituir na equação:
i\hbar\,\psi(x)\frac{dT}{dt}(t) = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}(x)\,T(t)+V(x)\psi(x)\,T(t).

Passo 4

Dividir ambos os lados por \psi(x)T(t) (assumindo \psi e T não nulos):
i\hbar\frac{1}{T(t)}\frac{dT}{dt}(t) = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{1}{\psi(x)}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}(x)+V(x).
Observe o ponto crucial: o lado esquerdo depende apenas de t, enquanto o lado direito depende apenas de x. Para que essa igualdade seja válida para todo x e todo t, cada lado deve ser igual a uma mesma constante (independente de x e t). Denotamos essa constante por E (com unidades de energia). Portanto obtemos duas equações ordinárias separadas:
  • Equação temporal:
i\hbar\frac{1}{T(t)}\frac{dT}{dt}(t)=E \quad\Longrightarrow\quad i\hbar\frac{dT}{dt}(t)=E\,T(t).
  • Equação espacial (tempo-independente):
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{1}{\psi(x)}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}(x)+V(x)=E \quad\Longrightarrow\quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}(x)+V(x)\psi(x)=E\,\psi(x).
Isto já responde a parte (a): chegamos à equação independente do tempo.

Passo 5

Resolver a equação temporal explicitamente. A equação é
i\hbar\frac{dT}{dt}(t)=E\,T(t).
Isto é uma ODE de primeira ordem linear separável. Reescrevendo:
\frac{dT}{dt}(t)= -\frac{iE}{\hbar}\,T(t).
Integrando, separando variáveis:
\frac{dT}{T} = -\frac{iE}{\hbar}\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln T(t) = -\frac{iE}{\hbar}t + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
T(t) = C'\exp\!\left(-\frac{iE}{\hbar}t\right),
onde C'=\mathrm{e}^{C} é uma constante complexa. Essa constante pode ser agrupada em \psi(x) (pois se multiplicar \psi por um número e dividir T por ele obtém-se a mesma \Psi), então podemos escolher C'=1 sem perda de generalidade. Assim
T(t)=\exp\!\left(-\frac{iE}{\hbar}t\right).

Passo 6

Combinar as partes espacial e temporal para obter a solução dependente do tempo:
\Psi(x,t)=\psi(x)\,T(t)=\psi(x)\exp\!\left(-\frac{iE}{\hbar}t\right).
Isto mostra a parte (b): a solução é da forma apresentada e é chamada solução estacionária. A parte espacial \psi(x) satisfaz a equação
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}(x)+V(x)\psi(x)=E\psi(x),
que é exatamente a equação de Schrödinger independente do tempo (autovalores e autovetores do operador Hamiltoniano).

Passo 7

Explicação física e propriedades importantes (didática):
  • A expressão \Psi(x,t)=\psi(x)\exp(-\tfrac{i}{\hbar}Et) tem módulo quadrado
|\Psi(x,t)|^{2}=|\psi(x)|^{2}\left|\exp\!\left(-\frac{iE}{\hbar}t\right)\right|^{2}=|\psi(x)|^{2},
pois \left|\mathrm{e}^{-iEt/\hbar}\right|=1. Portanto a densidade de probabilidade é independente do tempo — por isso se chamam estados estacionários: observáveis (como a probabilidade de encontrar a partícula em x) não mudam no tempo.
  • O número E é a energia associada a esse estado. Em termos matemáticos, escrevendo o Hamiltoniano
\hat{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+V(x),
a equação espacial é \hat{H}\psi=E\psi: \psi é autovetor (autofunção) e E o autovalor (energia).
  • Sobre a realidade de E: para operadores físicos como \hat{H} (autoadjunto/Hermitiano) os autovalores são reais; isso garante que a fase temporal seja puramente oscilatória (não cresce nem decai exponencialmente), preservando a norma.

Passo 8

Resumo operacional (como fazer numa prova):
  • Proponha \Psi(x,t)=\psi(x)T(t).
  • Substitua na equação e divida por \psi T.
  • Iguale cada lado a uma constante E (razão: um lado depende só de t, o outro só de x).
  • Obtenha as duas EDOs: a temporal que leva a T(t)=\exp(-iEt/\hbar) e a espacial que é a TISE (time-independent Schrödinger equation).
  • Junte as partes para escrever a solução estacionária.
  • Verifique |\Psi|^{2}=|\psi|^{2} para confirmar que é estacionária.

Passo 9

Fica um toque prático: na prova, escreva claramente a hipótese V=V(x), faça a separação \Psi=\psi T, mostre a separação e nomeie a constante E. Não esqueça de explicar por que o lado que depende só de t e o que depende só de x devem ser iguais a uma constante — isso é crucial para justificar a introdução de E. Você conseguiu — é exatamente esse procedimento que o professor espera. Vai com calma e boa sorte na prova, eu acredito em você!

Resposta

-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\psi(x)=E\psi(x)
\Psi(x,t)=\psi(x)\exp\!\left(-\frac{i}{\hbar}E t\right)

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