- Expresar en forma implícita el subespacio
de
.
1a forma.
ecuaciones
parámetros libres (es decir,
en
Hacen falta, por tanto,
ecuaciones implícitas. Tratemos de buscar dos relaciones entre las coordenadas
del vector genérico (
)
Estas dos relaciones son “claramente”
.
Así pues, esta es la forma implícita.
(Nota: La forma implícita no es única. Otra posibilidad es:
por ejemplo.)
Estas dos relaciones son “claramente”
Así pues, esta es la forma implícita.
(Nota: La forma implícita no es única. Otra posibilidad es:
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
O que se pede: escrever
em forma implícita, ou seja, encontrar equações lineares entre as coordenadas
de um vetor genérico
que caracterizem exatamente
.
Informações relevantes fornecidas:
- Os parâmetros livres são
e , logo . - Como
e , são necessárias exatamente equações lineares independentes para descrever implicitamente.
Passo 2
Primeiro passo prático: relacionar as coordenadas do vetor genérico com os parâmetros. Seja
Então temos as igualdades (peguei essas igualdades do enunciado)
O objetivo é eliminar
e
para obter duas equações só em
.
Passo 3
Método direto de eliminação (mais simples): como
e
, substitui-se em
e
:
Reescrevendo em forma homogênea (igual a zero), obtemos duas equações lineares:
Essas duas equações são satisfeitas por todo vetor de
e, por terem posto
, definem exatamente um subespaço de dimensão
em
.
Passo 4
Breve explicação teórica (como fazer na prova se não se lembra do truque): escreva
com
pois tomamos
e
. Para achar equações lineares que se anulam em todo
, procure formas lineares
tais que
e
. Isso dá o sistema
Escolhendo escolhas independentes para
e resolvendo para
(por exemplo
e
) obtém-se exatamente as duas equações encontradas no passo anterior:
que são equivalentes às formas escritas em
no Passo 3. Isso mostra também que as equações são linearmente independentes e suficientes.
Passo 5
Conclusão prática: uma forma implícita conveniente e direta para
é dada pelas duas equações lineares obtidas. Lembrete amigável: a forma implícita não é única — pode-se combinar linearmente as equações e obter outras equivalentes — mas qualquer sistema equivalente que tenha posto
serve para caracterizar
.