1. Expresar en forma implícita el subespacio S=\{(\alpha, \beta, 2 \alpha+\beta,-\alpha+3 \beta)\} de \mathbb{R}^{4}.
1a forma. \mathrm{n}^{\circ} ecuaciones \quad+\quad \mathrm{n}^{\circ} parámetros libres (es decir, \left.\operatorname{dim} \mathrm{S}\right)=4\left(\right. en \left.\mathbb{R}^{\mathbf{4}}\right)
\begin{array}{llll} 2 & + & 2 & =4 \end{array}
Hacen falta, por tanto, \mathbf{2} ecuaciones implícitas. Tratemos de buscar dos relaciones entre las coordenadas x, y, z, t del vector genérico ( \alpha, \beta, 2 \alpha+\beta,-\alpha+3 \beta )
Estas dos relaciones son “claramente” \mathbf{z = 2 x + y ~ ; ~} \mathbf{t = - x + 3 y}.
Así pues, esta es la forma implícita.
(Nota: La forma implícita no es única. Otra posibilidad es: \mathbf{z = 2 x + y} ; \mathbf{z + 2 t}=\mathbf{7 y} por ejemplo.)

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
S=\{(\alpha,\beta,2\alpha+\beta,-\alpha+3\beta)\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}\subset\mathbb{R}^4
O que se pede: escrever S em forma implícita, ou seja, encontrar equações lineares entre as coordenadas x,y,z,t de um vetor genérico (x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 que caracterizem exatamente S.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os parâmetros livres são \alpha e \beta, logo \dim S=2.
  • Como \dim\mathbb{R}^4=4 e \dim S=2, são necessárias exatamente 2 equações lineares independentes para descrever S implicitamente.

Passo 2

Primeiro passo prático: relacionar as coordenadas do vetor genérico com os parâmetros. Seja
(x,y,z,t)=(\alpha,\beta,2\alpha+\beta,-\alpha+3\beta).
Então temos as igualdades (peguei essas igualdades do enunciado)
x=\alpha,\qquad y=\beta,\qquad z=2\alpha+\beta,\qquad t=-\alpha+3\beta.
O objetivo é eliminar \alpha e \beta para obter duas equações só em x,y,z,t.

Passo 3

Método direto de eliminação (mais simples): como x=\alpha e y=\beta, substitui-se em z e t:
z=2\alpha+\beta=2x+y,
t=-\alpha+3\beta=-x+3y.
Reescrevendo em forma homogênea (igual a zero), obtemos duas equações lineares:
z-2x-y=0, \qquad t+x-3y=0.
Essas duas equações são satisfeitas por todo vetor de S e, por terem posto 2, definem exatamente um subespaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^4.

Passo 4

Breve explicação teórica (como fazer na prova se não se lembra do truque): escreva S=\operatorname{span}\{v_1,v_2\} com
v_1=(1,0,2,-1),\qquad v_2=(0,1,1,3),
pois tomamos \alpha=1,\beta=0 e \alpha=0,\beta=1. Para achar equações lineares que se anulam em todo S, procure formas lineares L(x,y,z,t)=ax+by+cz+dt tais que L(v_1)=0 e L(v_2)=0. Isso dá o sistema
a+2c-d=0, \qquad b+c+3d=0.
Escolhendo escolhas independentes para c,d e resolvendo para a,b (por exemplo c=1,d=0 e c=0,d=1) obtém-se exatamente as duas equações encontradas no passo anterior:
-2x-y+z=0,\qquad x-3y+t=0,
que são equivalentes às formas escritas em no Passo 3. Isso mostra também que as equações são linearmente independentes e suficientes.

Passo 5

Conclusão prática: uma forma implícita conveniente e direta para S é dada pelas duas equações lineares obtidas. Lembrete amigável: a forma implícita não é única — pode-se combinar linearmente as equações e obter outras equivalentes — mas qualquer sistema equivalente que tenha posto 2 serve para caracterizar S.

Resposta

z-2x-y=0
t+x-3y=0

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