1. Expresar en forma implícita el subespacio S=\{(\alpha, \beta, 3 \alpha-5 \beta)\} de \mathbb{R}^{3}.
    \underline{1}^{\text {a }} forma. Veamos primero cuántas ecuaciones implícitas son necesarias. La forma paramétrica tiene dos parámetros libres. Entonces,
\begin{array}{cccc} \mathrm{n}^{\circ} \text { ecuaciones } & + & \mathrm{n}^{\circ} \text { parámetros libres }(\text { es decir, } \operatorname{dim} \mathrm{S}) & = \\\ \mathbf{1} & + & 2 & = \\\ & = & 3 \end{array}á
Hace falta, por tanto, 1 ecuación implícita. Tratemos de buscar una relación entre las coordenadas x, y, z del vector genérico ( \alpha, \beta, 3 \alpha-5 \beta )
Observamos que la tercera coordenada es tres veces la primera menos cinco veces la segunda. Así, la relación es \mathbf{z = 3 x - 5 y}. Esta es la forma implícita.
(Nota: las ecuaciones implícitas nunca pueden tener término independiente, pues siempre ha de satisfacerlas el vector cero).
\mathbf{2}^{\mathbf{a}} forma. Obtenemos una base de S :
(\alpha, \beta, 3 \alpha-5 \beta)=\alpha(1,0,3)+\beta(0,1,-5) \rightarrow sistema generador (1,0,3),(0,1,-5).
y son linealmente independientes: r g\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\\\ 3 & -5\end{array}\right)=2, luego son base. (Por tanto \operatorname{dimS}=2 ).
Ahora, un vector (x, y, z) de \Re^{3} pertenecerá a S si es combinación lineal de (1,0,3),(0,1,-5) : por tanto si al añadirlo a ellos, el rango no aumenta y sigue siendo 2 .
Debe ser rg \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & x \\\\ 0 & 1 & y \\\\ 3 & -5 & z\end{array}\right)=\mathbf{2}. Escalonamos esta matriz para ver su rango.
(Notar que el hecho de que sus términos sean incógnitas no impide en absoluto efectuar operaciones elementales en las filas, como en cualquier matriz numérica.)
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & x \\\\ 0 & 1 & y \\\\ 3 & -5 & z \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & x \\\\ 0 & 1 & y \\\\ 0 & 5 & z-3 x \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & x \\\\ 0 & 1 & y \\\\ 0 & 0 & z-3 x+5 y \end{array}\right)
Las dos primeras filas de la matriz son no nulas, así que el rango será 2 cuando la tercera fila sea nula, es decir, cuando \mathbf{z - 3 x + 5 y = 0}. Esta es la forma implícita buscada. Notar que es la misma que se obtuvo en la 1^{\mathrm{a}} forma.
Otra variante de esta 2^{\mathrm{a}} forma: como la matriz \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & \mathrm{x} \\\\ 0 & 1 & \mathrm{y} \\\\ 3 & -5 & \mathrm{z}\end{array}\right) es cuadrada, podemos también hallar su determinante, que resulta ser \mathbf{z}-\mathbf{3 x}+\mathbf{5 y}. Cuando el determinante sea nulo, el rango de la matriz es 2 . Se obtiene así también la misma ecuación implícita.

Passo 1

O enunciado pede: expressar em forma implícita o subconjunto
S=\{(\alpha,\beta,3\alpha-5\beta)\}\subset\mathbb{R}^3.
Informações dadas que vamos usar:
  • Um vetor genérico de S tem coordenadas (\alpha,\beta,3\alpha-5\beta), com dois parâmetros livres \alpha e \beta.
  • A forma implícita que se quer é uma (ou mais) equação(es) linear(es) envolvendo as coordenadas (x,y,z) tais que exatamente os vetores de S satisfaçam essas equações.
  • Como S tem dois parâmetros livres (dimensão 2) em \mathbb{R}^3, espera-se obter 3-2=1 equação implícita independente.

Passo 2

Método direto (substituição das coordenadas): seja (x,y,z) um vetor genérico de \mathbb{R}^3. Se (x,y,z)\in S, existem \alpha,\beta tais que
x=\alpha,\qquad y=\beta,\qquad z=3\alpha-5\beta.
Substituindo \alpha=x e \beta=y na terceira igualdade obtemos imediatamente a relação entre x,y,z:
z=3x-5y.
Reescrevendo em forma homogênea (forma usual de equação linear) temos
z-3x+5y=0.
Comentário didático: essa é uma equação linear homogênea (sem termo independente), como era de esperar porque o vetor nulo (0,0,0) deve pertencer a S.

Passo 3

Explicação conceitual do que significa a equação implícita: a equação
z-3x+5y=0
é uma equação de um plano que passa pela origem em \mathbb{R}^3. Geometricamente, S é esse plano. A equação tem coeficientes (-3,5,1) que formam um vetor normal ao plano; isto é, esse vetor é ortogonal a todos os vetores do subespaço S.

Passo 4

Método secundário (base + posto/determinante) — verificação e reforço: escrevemos os vetores geradores de S extraídos da forma paramétrica:
(\alpha,\beta,3\alpha-5\beta)=\alpha(1,0,3)+\beta(0,1,-5),
logo S=\operatorname{span}\{(1,0,3),(0,1,-5)\}. Esses dois vetores são linearmente independentes, então \dim S=2.
Um vetor (x,y,z) pertence a S se e só se as colunas (1,0,3),(0,1,-5),(x,y,z) forem linearmente dependentes, isto é, se a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & x \\[4pt] 0 & 1 & y \\[4pt] 3 & -5 & z\end{pmatrix}
tiver determinante zero. Calculamos o determinante expandindo pela primeira linha:
\begin{aligned} \det A &= 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & y \\[4pt] -5 & z\end{pmatrix} -0\cdot\det\begin{pmatrix}0 & y \\[4pt] 3 & z\end{pmatrix} +x\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 3 & -5\end{pmatrix} \\\ &= 1\cdot(1\cdot z - y\cdot(-5)) + x\cdot(0\cdot(-5)-1\cdot 3) \\\ &= z+5y -3x \\\ &= z-3x+5y. \end{aligned}
Portanto \det A=0 dá a mesma equação implícita
z-3x+5y=0,
confirmando o resultado do método direto.]

Passo 5

Checagem de ortogonalidade (pequeno reforço didático): verifique que o vetor normal n=(-3,5,1) é ortogonal aos geradores:
n\cdot(1,0,3) = -3\cdot1 +5\cdot0 +1\cdot3 = 0,
n\cdot(0,1,-5)= -3\cdot0 +5\cdot1 +1\cdot(-5)=0.
Isto mostra que a equação -3x+5y+z=0 descreve exatamente o plano gerado por (1,0,3) e (0,1,-5).

Resposta

z-3x+5y=0

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