Considere
o sólido de
, cujo volume em coordenadas cilindricas é:
Passo 1
O enunciado nos dá diretamente a expressão do volume do sólido
em coordenadas cilíndricas:
O que nos é pedido: calcular esse volume (ou seja, avaliar explicitamente essa soma de integrais).
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A variável angular tem
. - A coordenada radial aparece em dois trechos:
com teto em , e com teto em . - O integrando é
multiplicado por (o elemento de volume em cilíndricas).
Nada mais é pedido além de avaliar essa expressão.
Passo 2
Pequena aula: por que usamos
e o que cada variável significa.
- Em coordenadas cilíndricas as coordenadas são
, onde é a distância radial ao eixo , é o ângulo em torno do eixo e é a altura usual. - O elemento de volume em cilíndricas é
Explicação do
: ao transformar de coordenadas cartesianas
para polares
a mudança de variáveis tem um jacobiano com valor
. Geometricamente, um pequeno retângulo em
corresponde a uma pequena área física de comprimento radial
e comprimento arco
, daí surge o fator
.
- Para avaliar o volume, procede-se integrando
sobre a região dada em .
Passo 3
Vamos simplificar a expressão fazendo primeiro as integrais em
(são triviais, porque o integrando não depende de
exceto pelo fator
que é tratado como constante na integração em
).
Escrevendo cada parcela após integrar em :
Escrevendo cada parcela após integrar em
Justificativa: para uma integral
com
fixo, o resultado é
; aplicamos isso aos tetos em
fornecidos.
Agora observe que o integrando dentro de não depende de
, então a integral em
simplesmente multiplica pelo comprimento do intervalo angular:
Agora observe que o integrando dentro de
Logo podemos definir duas integrais radiais:
e teremos
Passo 4
Vamos calcular
e
cuidadosamente. Começando por
, separamos a integral:
Explicação da separação:
. Cada parcela é mais fácil de integrar isoladamente.
Passo 5
Cálculo da primeira parcela de
:
Agora a segunda parcela de
: calcular
.
Técnica usada: substituição. Seja . Então
, isto é
.
Mudança dos limites: quando temos
; quando
temos
.
Assim
Técnica usada: substituição. Seja
Mudança dos limites: quando
Assim
Agora integramos potência:
Portanto a segunda parcela vale
. Concluímos que
Passo 6
Agora calculamos
:
Usamos novamente substituição do tipo
. Então
, ou
.
Limites: quando temos
; quando
temos
.
Assim
Limites: quando
Assim
Essa integral é idêntica à que apareceu antes, logo
Passo 7
Somando os dois resultados:
Multiplicando pelo fator angular
obtido no Passo 3:
Pequena motivação final: obter um número simples como
é comum quando o domínio tem simetrias angulares (a integração em
dá um múltiplo de
) e as integrais em
reduzem-se a potências por substituições quadráticas.