Calcule a massa da esfera de raio
, centrada na origem de
, cuja densidade no ponto
é igual a
.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera sólida (bola) centrada na origem de
com raio
. A densidade no ponto
é igual à norma de
, isto é, se
tem distância
à origem então a densidade vale
. O que se pede é a massa total da esfera, ou seja a integral da densidade sobre o volume da bola de raio
.
Informações relevantes dadas:
- A região de integração é a bola:
. - A densidade em um ponto
é , onde é a distância do ponto à origem. - Pedido: massa total
.
Passo 2
Decisão do método: para integrar uma função que depende apenas da distância ao centro (a densidade é radial, depende só de
), é muito conveniente usar coordenadas esféricas porque nelas a simetria radial fica explícita e os limites ficam simples. Vou usar coordenadas esféricas centradas na origem com variáveis
definidas abaixo. Essa escolha simplifica a integral tripla para produtos de integrais unidimensionais.
Passo 3
Definição das coordenadas esféricas e do elemento de volume.
-
As coordenadas esféricas usadas são:
-
= distância à origem, com . -
= ângulo polar (ângulo medido a partir do eixo positivo), com . -
= ângulo azimutal no plano , com .
-
-
A relação entre esféricas e cartesianas não precisa ser escrita integralmente aqui, mas o elemento de volume em esféricas vale
Explicação intuitiva do fator
: um pequeno aumento
no raio cria uma casca esférica; os pequenos arcos angulares geram comprimentos proporcionais a
e
, e o produto desses comprimentos com
dá a área da face da pequena caixa esférica; multiplicando por
aparece o fator
.
Passo 4
Expressar a massa como integral em coordenadas esféricas.
A densidade em esféricas é simplesmente
. Então a massa é
Simplificando o integrando:
Passo 5
Calcular a integral em
(a parte radial).
Calcule
Logo a integral tripla fica
Passo 6
Calcular as integrais angulares.
Primeiro em
:
Depois em
:
Multiplicando tudo:
Passo 7
Verificação rápida e comentário intuitivo.
- Dimensionalmente: densidade tem dimensão de comprimento (pois vale
), volume tem dimensão de comprimento , logo massa tem dimensão comprimento , e tem essa dimensão — consistente. - Caso particular: para
a massa é , o que é plausível (um número simples para checar).