Calcule a massa da esfera de raio R, centrada na origem de \mathbb{R}^{3}, cuja densidade no ponto P é igual a \|P\|.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera sólida (bola) centrada na origem de \mathbb{R}^3 com raio R. A densidade no ponto P é igual à norma de P, isto é, se P tem distância r à origem então a densidade vale r. O que se pede é a massa total da esfera, ou seja a integral da densidade sobre o volume da bola de raio R.
Informações relevantes dadas:
  • A região de integração é a bola: \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid \sqrt{x^2+y^2+z^2}\le R\}.
  • A densidade em um ponto P é \|P\|=r, onde r é a distância do ponto à origem.
  • Pedido: massa total M=\iiint_{\text{bola}} \|P\|\,dV.

Passo 2

Decisão do método: para integrar uma função que depende apenas da distância ao centro (a densidade é radial, depende só de r), é muito conveniente usar coordenadas esféricas porque nelas a simetria radial fica explícita e os limites ficam simples. Vou usar coordenadas esféricas centradas na origem com variáveis \,r,\varphi,\theta\: definidas abaixo. Essa escolha simplifica a integral tripla para produtos de integrais unidimensionais.

Passo 3

Definição das coordenadas esféricas e do elemento de volume.
  • As coordenadas esféricas usadas são:
    • r = distância à origem, com 0\le r\le R.
    • \varphi = ângulo polar (ângulo medido a partir do eixo z positivo), com 0\le \varphi\le \pi.
    • \theta = ângulo azimutal no plano xy, com 0\le \theta\le 2\pi.
  • A relação entre esféricas e cartesianas não precisa ser escrita integralmente aqui, mas o elemento de volume em esféricas vale
dV = r^{2}\sin\varphi \,dr\,d\varphi\,d\theta.
Explicação intuitiva do fator r^{2}\sin\varphi: um pequeno aumento dr no raio cria uma casca esférica; os pequenos arcos angulares geram comprimentos proporcionais a r e r\sin\varphi, e o produto desses comprimentos com dr dá a área da face da pequena caixa esférica; multiplicando por dr aparece o fator r^{2}\sin\varphi.

Passo 4

Expressar a massa como integral em coordenadas esféricas.
A densidade em esféricas é simplesmente \|P\|=r. Então a massa é
M=\iiint_{\text{bola}} r\,dV =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} r\cdot\bigl(r^{2}\sin\varphi\bigr)\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Simplificando o integrando:
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} r^{3}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em r (a parte radial).
Calcule
\int_{0}^{R} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{R} = \frac{R^{4}}{4}.
Logo a integral tripla fica
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{R^{4}}{4}\sin\varphi \,d\varphi\,d\theta.

Passo 6

Calcular as integrais angulares.
Primeiro em \varphi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = -(-1)+1 = 2.
Depois em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando tudo:
M = \frac{R^{4}}{4}\times 2 \times 2\pi = \frac{R^{4}}{4}\times 4\pi = \pi R^{4}.

Passo 7

Verificação rápida e comentário intuitivo.
  • Dimensionalmente: densidade tem dimensão de comprimento (pois vale r), volume tem dimensão de comprimento ^3, logo massa tem dimensão comprimento ^4, e \pi R^{4} tem essa dimensão — consistente.
  • Caso particular: para R=1 a massa é M=\pi, o que é plausível (um número simples para checar).

Resposta

\displaystyle \pi R^{4}

Exercícios relacionados