calcule:
\int_{1}^{2} \int_{\sqrt{2 x-x^{2}}}^{x} x^{2} y \sqrt{x^{2}+y^{2}} d y d x+\int_{2}^{4} \int_{0}^{\sqrt{4 x-x^{2}}} x^{2} y \sqrt{x^{2}+y^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da soma de duas integrais duplas
\int_{1}^{2} \int_{\sqrt{2 x-x^{2}}}^{x} x^{2} y \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, d y\, d x+\int_{2}^{4} \int_{0}^{\sqrt{4 x-x^{2}}} x^{2} y \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, d y\, d x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O integrando é \,x^{2}y\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,.
  • Na primeira integral x varia em [1,2] e y varia entre \sqrt{2x-x^{2}} (limite inferior) e x (limite superior).
  • Na segunda integral x varia em [2,4] e y varia entre 0 e \sqrt{4x-x^{2}}.
  • As curvas \,y=\sqrt{2x-x^{2}}\, e \,y=\sqrt{4x-x^{2}}\, são semicircunferências (ramos superiores) de círculos centrados no eixo x: explicitamente,
    • \,y=\sqrt{2x-x^{2}}\, é o ramo superior do círculo (x-1)^{2}+y^{2}=1 (centro (1,0), raio 1).
    • \,y=\sqrt{4x-x^{2}}\, é o ramo superior do círculo (x-2)^{2}+y^{2}=4 (centro (2,0), raio 2).
  • Há também as retas y=x (presente como limite superior na primeira integral) e y=0 (limite inferior na segunda integral).
  • O enunciado pede o valor numérico exato da soma dessas duas integrais.

Passo 2

Vamos descrever geometricamente a região de integração (isso organiza a resolução). A união das duas integrais corresponde à região no primeiro quadrante limitada por:
  • a semicircunferência de centro (1,0) e raio 1 (equação (x-1)^{2}+y^{2}=1),
  • a semicircunferência de centro (2,0) e raio 2 (equação (x-2)^{2}+y^{2}=4),
  • a reta y=x,
  • e o eixo y=0,
    com as variações de x dadas nos limites. Para resolver de forma prática e compacta, convém trabalhar em coordenadas polares porque as equações das duas circunferências ficam muito simples em polares (vamos transformar as curvas para polares e unificar a região).

Passo 3

Converter cada curva para coordenadas polares. Em polares tomamos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r.
Transformação das semicircunferências:
  • Para (x-1)^{2}+y^{2}=1 substituindo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta:
(r\cos\theta-1)^{2}+(r\sin\theta)^{2}=1
r^{2}-2r\cos\theta+1=1\quad\Rightarrow\quad r^{2}-2r\cos\theta=0
\Rightarrow\quad r=0\quad\text{ou}\quad r=2\cos\theta.
A semicircunferência superior corresponde ao ramo r=2\cos\theta (com r\ge0 e \cos\theta\ge0).
  • Para (x-2)^{2}+y^{2}=4:
(r\cos\theta-2)^{2}+(r\sin\theta)^{2}=4
r^{2}-4r\cos\theta+4=4\quad\Rightarrow\quad r^{2}-4r\cos\theta=0
\Rightarrow\quad r=0\quad\text{ou}\quad r=4\cos\theta.
O ramo superior corresponde a r=4\cos\theta.
Outras curvas em polares:
  • A reta y=x implica \tan\theta=1, isto é \theta=\pi/4.
  • A reta y=0 implica \theta=0.
Conclusão intermediária: as duas semicircunferências ficam como r=2\cos\theta e r=4\cos\theta; as retas são \theta=\pi/4 e \theta=0.

Passo 4

Determinar os limites angulares e radiais da região unificada. Observações úteis:
  • Como y\ge0 em todas as integrais, temos \theta\in[0,\pi/2], mas as outras condições (reta y=x e interseções) restringem para \theta\le\pi/4.
  • Interseção entre a circunferência r=2\cos\theta e a reta \theta=\pi/4: r=2\cos(\pi/4)=2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2. Essa interseção corresponde a x=1 (verificação).
  • Interseção entre a circunferência r=4\cos\theta e \theta=\pi/4: r=4\cos(\pi/4)=4\cdot\frac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2. Essa interseção corresponde a x=4 quando projetada, etc.
  • Para \theta\in[0,\pi/4] verifica-se que 2\cos\theta\le 2/\cos\theta\le 4\cos\theta (a outra desigualdade vem do fato de que para 0\le\theta\le\pi/4 temos \cos\theta\ge 1/\sqrt2 e fazendo as comparações apropriadas). Em particular, os trechos das integrais em x se unem formando, para cada \theta\in[0,\pi/4], um intervalo radial contínuo de \,r=2\cos\theta até \,r=4\cos\theta.
  • Portanto a região total corresponde, em coordenadas polares, ao conjunto
\{(r,\theta): 0\le\theta\le \tfrac{\pi}{4},\; 2\cos\theta\le r\le 4\cos\theta\}.

Passo 5

Converter o integrando e o elemento de área para polares. O integrando original é \,x^{2}y\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,. Substituindo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r e lembrando que dA=dx\,dy=r\,dr\,d\theta, obtemos:
x^{2}y\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = (r\cos\theta)^{2}\,(r\sin\theta)\,(r)\,(r\,dr\,d\theta) = r^{5}\cos^{2}\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
Portanto a soma das duas integrais se transforma na integral simples em polares sobre a região encontrada:
\iint_{\text{região}} x^{2}y\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA =\int_{0}^{\pi/4}\int_{2\cos\theta}^{4\cos\theta} r^{5}\cos^{2}\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.ã

Passo 6

Calcular a integral em r (integramos primeiro em r). Como \cos^{2}\theta\sin\theta é constante em relação a r,
\int_{2\cos\theta}^{4\cos\theta} r^{5}\cos^{2}\theta\sin\theta\,dr =\cos^{2}\theta\sin\theta\int_{2\cos\theta}^{4\cos\theta} r^{5}\,dr =\cos^{2}\theta\sin\theta\left[\frac{r^{6}}{6}\right]_{2\cos\theta}^{4\cos\theta}.
Calcule a diferença:
\left[\frac{r^{6}}{6}\right]_{2\cos\theta}^{4\cos\theta} =\frac{1}{6}\big((4\cos\theta)^{6}-(2\cos\theta)^{6}\big) =\frac{1}{6}\cos^{6}\theta\big(4^{6}-2^{6}\big).
Como 4^{6}=4096 e 2^{6}=64, então 4^{6}-2^{6}=4032. Assim a expressão vira
\cos^{2}\theta\sin\theta\cdot\frac{1}{6}\cos^{6}\theta\cdot 4032 =672\cos^{8}\theta\sin\theta,
porque 4032/6=672.
Logo a integral total reduz-se a
\int_{0}^{\pi/4} 672\cos^{8}\theta\sin\theta\,d\theta.

Passo 7

Calcular a integral em \theta. Fazemos a substituição u=\cos\theta. Então du=-\sin\theta\,d\theta, isto é \sin\theta\,d\theta=-du.
Os limites em \theta transformam-se em:
\theta=0 \longrightarrow u=\cos 0=1,\qquad \theta=\frac{\pi}{4}\longrightarrow u=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.
Portanto
\int_{0}^{\pi/4} 672\cos^{8}\theta\sin\theta\,d\theta =672\int_{0}^{\pi/4} (\cos\theta)^{8}\sin\theta\,d\theta =672\int_{u=1}^{u=\frac{\sqrt2}{2}} u^{8}(-du).
Invertendo os limites para tirar o sinal:
=672\int_{u=\frac{\sqrt2}{2}}^{1} u^{8}\,du =672\left[\frac{u^{9}}{9}\right]_{u=\frac{\sqrt2}{2}}^{1} =\frac{672}{9}\left(1-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{9}\right).

Passo 8

Simplificar a potência \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^{9}. Observação:
\frac{\sqrt2}{2}=2^{-1/2}\quad\Rightarrow\quad\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{9}=2^{-9/2}=\frac{1}{2^{9/2}}=\frac{1}{16\sqrt2}.
Também simplificamos 672/9. Dividindo por 3: 672/9=(224)/3. Então:
\frac{672}{9}\left(1-\frac{1}{16\sqrt2}\right) =\frac{224}{3}\left(1-\frac{1}{16\sqrt2}\right).
Simplificando o segundo termo:
\frac{224}{3}\cdot\frac{1}{16\sqrt2}=\frac{224}{48\sqrt2}=\frac{14}{3\sqrt2}.
Portanto o resultado é
\frac{224}{3}-\frac{14}{3\sqrt2}.
Racionalizando o segundo termo (opcional) multiplicando numerador e denominador por \sqrt2:
\frac{14}{3\sqrt2}=\frac{14\sqrt2}{6}=\frac{7\sqrt2}{3}.
Logo uma forma mais simples é
\frac{224}{3}-\frac{7\sqrt2}{3}=\frac{224-7\sqrt2}{3}.
Pode fatorar 7 se quiser:
\frac{7(32-\sqrt2)}{3}.

Resposta

\dfrac{224-7\sqrt{2}}{3}

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