calcule:
Passo 1
O enunciado pede o valor da soma de duas integrais duplas
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O integrando é
. - Na primeira integral
varia em e varia entre (limite inferior) e (limite superior). - Na segunda integral
varia em e varia entre e . - As curvas
e são semicircunferências (ramos superiores) de círculos centrados no eixo : explicitamente, -
é o ramo superior do círculo (centro , raio ). -
é o ramo superior do círculo (centro , raio ).
-
- Há também as retas
(presente como limite superior na primeira integral) e (limite inferior na segunda integral). - O enunciado pede o valor numérico exato da soma dessas duas integrais.
Passo 2
Vamos descrever geometricamente a região de integração (isso organiza a resolução). A união das duas integrais corresponde à região no primeiro quadrante limitada por:
- a semicircunferência de centro
e raio (equação ), - a semicircunferência de centro
e raio (equação ), - a reta
, - e o eixo
,
com as variações dedadas nos limites. Para resolver de forma prática e compacta, convém trabalhar em coordenadas polares porque as equações das duas circunferências ficam muito simples em polares (vamos transformar as curvas para polares e unificar a região).
Passo 3
Converter cada curva para coordenadas polares. Em polares tomamos
Transformação das semicircunferências:
- Para
substituindo , :
A semicircunferência superior corresponde ao ramo
(com
e
).
- Para
:
O ramo superior corresponde a
.
Outras curvas em polares:
- A reta
implica , isto é . - A reta
implica .
Conclusão intermediária: as duas semicircunferências ficam como
e
; as retas são
e
.
Passo 4
Determinar os limites angulares e radiais da região unificada. Observações úteis:
- Como
em todas as integrais, temos , mas as outras condições (reta e interseções) restringem para . - Interseção entre a circunferência
e a reta : . Essa interseção corresponde a (verificação). - Interseção entre a circunferência
e : . Essa interseção corresponde a quando projetada, etc. - Para
verifica-se que (a outra desigualdade vem do fato de que para temos e fazendo as comparações apropriadas). Em particular, os trechos das integrais em se unem formando, para cada , um intervalo radial contínuo de até . - Portanto a região total corresponde, em coordenadas polares, ao conjunto
Passo 5
Converter o integrando e o elemento de área para polares. O integrando original é
. Substituindo
,
,
e lembrando que
, obtemos:
Portanto a soma das duas integrais se transforma na integral simples em polares sobre a região encontrada:
Passo 6
Calcular a integral em
(integramos primeiro em
). Como
é constante em relação a
,
Calcule a diferença:
Como
e
, então
. Assim a expressão vira
porque
.
Logo a integral total reduz-se a
Passo 7
Calcular a integral em
. Fazemos a substituição
. Então
, isto é
.
Os limites em transformam-se em:
Os limites em
Portanto
Invertendo os limites para tirar o sinal:
Passo 8
Simplificar a potência
. Observação:
Também simplificamos
. Dividindo por
:
. Então:
Simplificando o segundo termo:
Portanto o resultado é
Racionalizando o segundo termo (opcional) multiplicando numerador e denominador por
:
Logo uma forma mais simples é
Pode fatorar
se quiser: