Obtenha uma equação vetorial para a reta que passa pelo ponto
, é paralela ou contida no plano
, e concorrente com a reta
nos seguintes casos.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de geometria analítica. A missão é encontrar a equação vetorial de uma reta que passa pelo ponto
, que seja paralela ou esteja contida no plano
, e que seja concorrente com uma reta dada
definida por
. Vamos precisar entender conceitos de vetores, planos, paralelismo e concorrência de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que significa uma reta ser paralela ou estar contida em um plano. Se a direção da reta for perpendicular ao vetor normal do plano, ela será paralela ao plano. O vetor normal do plano
é
. Além disso, uma reta concorre com outra se elas se cruzam em um ponto comum.
Passo 3
Vamos começar encontrando a direção da reta que queremos. Como ela deve ser concorrente com a reta
, precisamos que elas se cruzem. A reta
tem direção
. Para que nossa reta seja concorrente com
, sua direção
deve ser tal que haja um ponto em comum entre as duas retas.
Passo 4
Além disso, nossa reta precisa ser paralela ou estar contida no plano
. Se for paralela, a direção
da reta deve satisfazer
, onde
representa o produto escalar. Calculando isso:
Passo 5
Vamos então supor que
seja proporcional a
, já que as retas são concorrentes. Assim, podemos escrever nossa direção como
, onde
é uma constante.
Passo 6
Aplicando a condição de paralelismo com o plano
:
Isso confirma que qualquer múltiplo de
satisfaz a condição de paralelismo.
Passo 7
Agora, já que a reta precisa passar pelo ponto
, podemos usar a forma vetorial da reta:
Resposta
A equação vetorial da reta é
.