Considere W=\{(0,0,0,0),(-1,4,2,2),(3,-1,0,2),(-1,1,4,3),(0,1,1,0)\} e U=[(1,0,0,1),(1,-1,0,0),(0,1,2,1)].
(a) Esses conjuntos são subespaços de V=\mathbb{R}^{4} ?
(b) Qual é o conjunto U \cap W ?
(c) U \cap W é um subespaço de V=\mathbb{R}^{4} ?

Passo 1

O enunciado dá dois subconjuntos de \mathbb{R}^4:
W=\{(0,0,0,0),(-1,4,2,2),(3,-1,0,2),(-1,1,4,3),(0,1,1,0)\}
e
U=\{(1,0,0,1),(1,-1,0,0),(0,1,2,1)\}.
(a) Pergunta se cada um deles é subespaço de V=\mathbb{R}^4. Lembrando que um subconjunto S de \mathbb{R}^4 é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades:
  1. \mathbf{0}\in S.
  2. Fechamento para soma: se \mathbf{u},\mathbf{v}\in S então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S.
  3. Fechamento para escalar: se \mathbf{u}\in S e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha\mathbf{u}\in S.
    (b) Pede U\cap W.
    (c) Pergunta se U\cap W é subespaço de \mathbb{R}^4.

Passo 2

Verificamos W.
  1. \mathbf{0}=(0,0,0,0)\in W.
  2. Para fechamento escalar, considere \mathbf{w}=(-1,4,2,2)\in W e \alpha=2. Então
2\mathbf{w} = 2(-1,4,2,2) = (-2,8,4,4).
Esse vetor não está listado em W, logo W não é fechado por multiplicação por escalar.
Portanto, W não é subespaço de \mathbb{R}^4.

Passo 3

Verificamos U.
O vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,0,0) não aparece na lista de elementos de U. Logo a propriedade (1) falha imediatamente, e U não é subespaço de \mathbb{R}^4.

Passo 4

Para encontrar U\cap W, listamos os vetores de U e conferimos se algum está em W:
U contém (1,0,0,1), (1,-1,0,0) e (0,1,2,1).
Nenhum desses três aparece em W.
Logo
U\cap W = \emptyset.

Passo 5

O conjunto vazio \emptyset não contém o vetor nulo, portanto não satisfaz a condição de subespaço. Logo U\cap W não é subespaço de \mathbb{R}^4.

Resposta

(a) Nem W nem U são subespaços de \mathbb{R}^4.
(b) U\cap W = \emptyset.
(c) U\cap W não é subespaço de \mathbb{R}^4.

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