Considere
e
.
(a) Esses conjuntos são subespaços de
?
(b) Qual é o conjunto
?
(c)
é um subespaço de
?
(a) Esses conjuntos são subespaços de
(b) Qual é o conjunto
(c)
Passo 1
O enunciado dá dois subconjuntos de
:
e
.
(a) Pergunta se cada um deles é subespaço de . Lembrando que um subconjunto
de
é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades:
e
(a) Pergunta se cada um deles é subespaço de
-
. - Fechamento para soma: se
então . - Fechamento para escalar: se
e então .
(b) Pede.
(c) Pergunta seé subespaço de .
Passo 2
Verificamos
.
-
. - Para fechamento escalar, considere
e . Então
Esse vetor não está listado em
, logo
não é fechado por multiplicação por escalar.
Portanto, não é subespaço de
.
Portanto,
Passo 3
Verificamos
.
O vetor nulo não aparece na lista de elementos de
. Logo a propriedade (1) falha imediatamente, e
não é subespaço de
.
O vetor nulo
Passo 4
Para encontrar
, listamos os vetores de
e conferimos se algum está em
:
contém
,
e
.
Nenhum desses três aparece em .
Logo
Nenhum desses três aparece em
Logo
Passo 5
O conjunto vazio
não contém o vetor nulo, portanto não satisfaz a condição de subespaço. Logo
não é subespaço de
.
Resposta
(a) Nem
nem
são subespaços de
.
(b) .
(c) não é subespaço de
.
(b)
(c)