Vamos denotar por
a coleção de todas as funções reais de uma variável real que possuem o conjunto
como domínio. Se
e
pertencem a
e
é um escalar real, definimos
,
e, assim, podemos verificar que
é um espaço vetorial. Considerando o caso especial em que
, quais dos conjuntos abaixo são subespaços de
?
Todas as funções
, tais que
.
Todas as funções
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todas as funções reais com domínio
. Queremos ver se o subconjunto
é um subespaço. Para isso, vamos usar o teste de subespaço, isto é, verificar que:
- o zero está em
, -
é fechado sob soma, -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se a função zero
pertence a
. De fato,
logo
. Portanto, o zero está em
.
Passo 3
Sejam
e
em
. Então para todo
temos
Analisamos a soma
:
e
Logo
também satisfaz a condição e está em
.
Passo 4
Seja
e
. Então
Portanto
.
Resposta
O conjunto de todas as funções que satisfazem
é de fato um subespaço de
.