Vamos denotar por \mathcal{F}(\Omega) a coleção de todas as funções reais de uma variável real que possuem o conjunto \Omega como domínio. Se f e g pertencem a \mathcal{F}(\Omega) e \lambda é um escalar real, definimos (f+g)(x)=f(x)+g(x), (\lambda f)(x)=\lambda f(x) e, assim, podemos verificar que \mathcal{F}(\Omega) é um espaço vetorial. Considerando o caso especial em que \Omega=(-\infty, \infty), quais dos conjuntos abaixo são subespaços de \mathcal{F}(\Omega) ?
Todas as funções f, tais que f(x)=f(1-x).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial \mathcal{F}(\Omega) de todas as funções reais com domínio \Omega = (-\infty,\infty). Queremos ver se o subconjunto
S = \{\,f\in\mathcal{F}(\Omega)\mid f(x)=f(1-x)\\ \forall x\in\mathbb{R}\}
é um subespaço. Para isso, vamos usar o teste de subespaço, isto é, verificar que:
  1. o zero está em S,
  2. S é fechado sob soma,
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a função zero \varphi(x)=0 pertence a S. De fato,
\varphi(x)=0 \quad\text{e}\quad \varphi(1-x)=0,
logo \varphi(x)=\varphi(1-x). Portanto, o zero está em S.

Passo 3

Sejam f e g em S. Então para todo x temos
f(x)=f(1-x) \quad\text{e}\quad g(x)=g(1-x).
Analisamos a soma (f+g):
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
e
(f+g)(1-x)=f(1-x)+g(1-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x).
Logo f+g também satisfaz a condição e está em S.

Passo 4

Seja \lambda\in\mathbb{R} e f\in S. Então
(\lambda f)(x)=\lambda f(x) \quad\text{e}\quad (\lambda f)(1-x)=\lambda f(1-x)=\lambda f(x)=(\lambda f)(x).
Portanto \lambda f\in S.

Resposta

O conjunto de todas as funções que satisfazem f(x)=f(1-x) é de fato um subespaço de \mathcal{F}(\Omega).

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