Verifique que qualquer vetor \mathbb{R}^{2} pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,2) e (1,0). Que relação existe entre \mathbb{R}^{2} e [(1,2),(1,0)] ?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que quaisquer (x,y)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,2) e (1,0). O conteúdo é de combinação linear e base em espaços vetoriais, e vamos precisar resolver um sistema para encontrar coeficientes que expressem um vetor genérico como combinação desses dois.

Passo 2

Seja um vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^2\). Precisamos encontrar \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tais que \[\alpha\,(1,2)+\beta\,(1,0) = (x,y).
Isso dá o sistema
\begin{cases} \alpha + \beta = x,\\\\ 2\alpha = y. \end{cases}
Da segunda equação vem \alpha = \tfrac{y}{2}\]. Substituindo na primeira: \[\tfrac{y}{2} + \beta = x \quad\Longrightarrow\quad \beta = x - \tfrac{y}{2}.\] Logo \[(x,y) = \frac{y}{2}\,(1,2) + \Bigl(x-\tfrac{y}{2}\Bigr)\,(1,0),\] mostrando que todo \((x,y) está no span \{(1,2),(1,0)\}. Portanto
\mathrm{span}\{(1,2),(1,0)\} = \mathbb{R}^2.

Passo 3

Para verificar que \{(1,2),(1,0)\}\) é de fato uma base, conferimos independência linear. Se \[c_1\,(1,2)+c_2\,(1,0) = (0,0),
temos o sistema
\begin{cases} c_1 + c_2 = 0,\\\\ 2c_1 = 0. \end{cases}
Da segunda equação c_1=0\] e daí \(c_2=0. Logo são linearmente independentes.

Passo 4

Como \{(1,2),(1,0)\} é um conjunto de dois vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^2 e seu span é todo \mathbb{R}^2, concluímos que é uma base de \mathbb{R}^2.

Resposta

\mathbb{R}^2 = \mathrm{span}\{(1,2),\,(1,0)\}, ou seja, \{(1,2),(1,0)\} é uma base de \mathbb{R}^2.

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