Deseja-se amostrar os seguintes sinais usando um trem de impulsos com período de amostragem Ts, determine o intervalo de valores para Ts que evita a ocorrência de aliasing.
x(t)=cos (12 pi t) sen(pi t)2 t

Passo 1

Beleza, então o que o enunciado pede é: a gente tem o sinal
e quer amostrar esse sinal com período x(t)=cos(12pi t),sen(pi t)2,t de forma que NÃO role aliasing.
Isso entra na matéria de Teorema de Amostragem de Nyquist–Shannon e também nas propriedades de Transformada de Fourier (principalmente modulação e largura de banda).
Para resolver, vamos:
  1. descobrir qual é a “banda” (ou seja, o suporte em frequência) de ,
  2. ver como a multiplicação por desloca essa banda,
  3. achar a maior frequência que aparece em ,
  4. usar o Teorema de Nyquist para trocar isso em condição sobre .

Passo 2

Primeiro, olha só o termo . É só uma escala de amplitude do sinc clássico.
Lembra que
Ou seja, tem espectro que vale 1 para sen(pi t)pi t long<=ftrightarrow rect(f)com suporte |f|<= tfrac12 Hz e zero fora disso.
Como nosso termo é , dá só uma constante a mais na amplitude (que não altera o que interessa, que é a faixa de frequência):
Logo, essa parte “baseband” vive entre sen(pi t)2,t = pi2,sen(pi t)pi t long<=ftrightarrow pi2,rect(f), |f|<=0.5 Hz Hz e Hz.

Passo 3

Agora, quando a gente multiplica por cos(2pi f0 t);g(t) ;long<=ftrightarrow; 12l[G(f-f0)+G(f+f0)r] , na frequência isso vira duas cópias deslocadas:
se [f0-0.5,;f0+0.5] = [5.5,;6.5]e[-6.5,;-5.5] , então Hz e vale a propriedade
Como (o espectro de ) está em , as duas réplicas vão ficar em
Portanto o maior valor de frequência presente em é Hz.

Passo 4

O Teorema de Amostragem diz que, pra não ter aliasing, a frequência de amostragem fs ;>; 2,fmax Longrightarrow 1Ts > 2cdot 6.5 = 13 Longrightarrow Ts < 113 (segundos) deve ser pelo menos o dobro de :

Resposta

O intervalo de boxed0 < Ts < 113,s que evita aliasing é

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