Deseja-se amostrar os seguintes sinais usando um trem de impulsos com período de amostragem
, determine o intervalo de valores para
que evita a ocorrência de aliasing.
Passo 1
Beleza, então o que o enunciado pede é: a gente tem o sinal
e quer amostrar esse sinal com período
de forma que NÃO role aliasing.
Isso entra na matéria de Teorema de Amostragem de Nyquist–Shannon e também nas propriedades de Transformada de Fourier (principalmente modulação e largura de banda).
Para resolver, vamos:
Isso entra na matéria de Teorema de Amostragem de Nyquist–Shannon e também nas propriedades de Transformada de Fourier (principalmente modulação e largura de banda).
Para resolver, vamos:
- descobrir qual é a “banda” (ou seja, o suporte em frequência) de ,
- ver como a multiplicação por
desloca essa banda, - achar a maior frequência que aparece em
, - usar o Teorema de Nyquist para trocar isso em condição sobre
.
Passo 2
Primeiro, olha só o termo . É só uma escala de amplitude do sinc clássico.
Lembra que
Lembra que
Ou seja, tem espectro que vale 1 para
Hz e zero fora disso.
Como nosso termo é , dá só uma constante a mais na amplitude (que não altera o que interessa, que é a faixa de frequência):
Como nosso termo é , dá só uma constante a mais na amplitude (que não altera o que interessa, que é a faixa de frequência):
Logo, essa parte “baseband” vive entre
Hz e
Hz.
Passo 3
Agora, quando a gente multiplica por
, na frequência isso vira duas cópias deslocadas:
se , então
Hz e vale a propriedade
se
Como
(o espectro de ) está em
, as duas réplicas vão ficar em
Portanto o maior valor de frequência presente em
é
Hz.
Passo 4
O Teorema de Amostragem diz que, pra não ter aliasing, a frequência de amostragem
deve ser pelo menos o dobro de
:
Resposta
O intervalo de
que evita aliasing é