Considere X uma variável aleatória assumindo valores em \{0, \pm 1, \pm 2\}.
Suponha que P(X=-2)=P(X=-1) e P(X=1)=P(X=2) com a informação que P(X>0)=P(X<0)=P(X=0). Encontre a função de probabilidade e a função de distribuição de X.

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória discreta X com suporte em \{ -2,-1,0,1,2\} e dá as condições
  1. P(X=-2)=P(X=-1),
  2. P(X=1)=P(X=2),
  3. P(X>0)=P(X<0)=P(X=0).
    O que precisamos achar é a função de probabilidade (PMF) de X e sua função de distribuição acumulada (CDF).

Passo 2

Chame de \pi a probabilidade de X=0, ou seja \pi = P(X=0). Como P(X>0)=\pi e P(X<0)=\pi, a soma total das probabilidades é
P(X<0)+P(X=0)+P(X>0)=\pi+\pi+\pi = 3\pi = 1.
Logo
\pi = \frac{1}{3},
ou seja
P(X=0)=\frac{1}{3}.

Passo 3

Chame de \alpha a probabilidade comum de X=1 e X=2, isto é
P(X=1)=P(X=2)=\alpha.
Como P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)=2\alpha e já sabemos que P(X>0)=1/3, vem
2\alpha = \frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \frac{1}{6}.
Pela simetria do enunciado, também
P(X=-1)=P(X=-2)=\frac{1}{6}.

Passo 4

A função de probabilidade de X fica
p_X(x)= \begin{cases} \frac{1}{6},&x\in\{-2,-1,1,2\},\\\ \frac{1}{3},&x=0,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 5

A função de distribuição acumulada F_X(x)=P(X\le x) é dada por
F_X(x)= \begin{cases} 0, & x< -2,\\\ \frac{1}{6}, & -2\le x< -1,\\\ \frac{1}{3}, & -1\le x< 0,\\\ \frac{2}{3}, & 0\le x< 1,\\\ \frac{5}{6}, & 1\le x< 2,\\\\ 1, & x\ge 2. \end{cases}

Resposta

A função de probabilidade e a função de distribuição de X são
p_X(x)= \begin{cases} \frac{1}{6},&x\in\{-2,-1,1,2\},\\\ \frac{1}{3},&x=0,\\\\ 0,&\text{caso contrário,} \end{cases}á
F_X(x)= \begin{cases} 0, & x< -2,\\\ \frac{1}{6}, & -2\le x< -1,\\\ \frac{1}{3}, & -1\le x< 0,\\\ \frac{2}{3}, & 0\le x< 1,\\\ \frac{5}{6}, & 1\le x< 2,\\\\ 1, & x\ge 2. \end{cases}

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