Considere X uma variável aleatória assumindo valores em \{0, \pm 1, \pm 2\}.
Suponha que P(X=-2)=P(X=-1) e P(X=1)=P(X=2) com a informação que P(X>0)=P(X<0)=P(X=0). Encontre a função de probabilidade e a função de distribuição de X.
Passo 1
O enunciado define uma variável aleatória discreta X com suporte em \{ -2,-1,0,1,2\} e dá as condições
P(X=-2)=P(X=-1),
P(X=1)=P(X=2),
P(X>0)=P(X<0)=P(X=0).
O que precisamos achar é a função de probabilidade (PMF) de X e sua função de distribuição acumulada (CDF).
Passo 2
Chame de \pi a probabilidade de X=0, ou seja \pi = P(X=0). Como P(X>0)=\pi e P(X<0)=\pi, a soma total das probabilidades é
P(X<0)+P(X=0)+P(X>0)=\pi+\pi+\pi = 3\pi = 1.
Logo
\pi = \frac{1}{3},
ou seja
P(X=0)=\frac{1}{3}.
Passo 3
Chame de \alpha a probabilidade comum de X=1 e X=2, isto é
P(X=1)=P(X=2)=\alpha.
Como P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)=2\alpha e já sabemos que P(X>0)=1/3, vem