Suponha que o número de chegadas de clientes em um posto de informações turísticas seja uma variável aleatória com distribuição Poisson com taxa de 2 pessoas por hora ( X \sim Poisson(2)). Para uma hora qualquer, determine a probabilidade de ocorrer:
a) pelo menos uma chegada;
b) mais de duas chegadas, dado que chegaram menos de 5 pessoas.

Passo 1

O enunciado diz que o número de chegadas em 1 h segue X\sim Poisson(2). Precisamos usar a função massa de probabilidade da Poisson, a regra do complemento para (a) e a definição de probabilidade condicional para (b).

Passo 2

A função massa de probabilidade (pmf) de X\sim Poisson( \lambda=2) é
P(X=k)=e^{-2}\frac{2^k}{k!},\quad k=0,1,2,\dots
Para (a) usaremos a regra do complemento, e para (b) a fórmula
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.

Passo 3

Para (a) queremos
P(X\ge1)=1-P(X=0).
Como P(X=0)=e^{-2}\frac{2^0}{0!}=e^{-2}, segue
P(X\ge1)=1-e^{-2}\approx1-0{,}1353=0{,}8647.

Passo 4

Para (b) buscamos
P(X>2\mid X<5) =\frac{P(\{3,4\})}{P(\{0,1,2,3,4\})} =\frac{P(X=3)+P(X=4)}{\sum_{k=0}^4P(X=k)}.

Passo 5

Calculando o numerador:
P(X=3)+P(X=4) =e^{-2}\Bigl(\frac{2^3}{3!}+\frac{2^4}{4!}\Bigr) =e^{-2}\Bigl(\frac{8}{6}+\frac{16}{24}\Bigr) =e^{-2}\Bigl(\tfrac{4}{3}+\tfrac{2}{3}\Bigr) =2\,e^{-2}.

Passo 6

Calculando o denominador:
\sum_{k=0}^4P(X=k) =e^{-2}\sum_{k=0}^4\frac{2^k}{k!} =e^{-2}(1+2+2+\tfrac{4}{3}+\tfrac{2}{3}) =e^{-2}\cdot7 =7\,e^{-2}.

Passo 7

Substituindo na fórmula condicional:
P(X>2\mid X<5) =\frac{2\,e^{-2}}{7\,e^{-2}} =\frac{2}{7}\approx0{,}2857.

Resposta

(a) P(X\ge1)=1-e^{-2}\approx0{,}8647
(b) P(X>2\mid X<5)=\tfrac{2}{7}\approx0{,}2857

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