Considere y no intervalo [0, pi2]. Então, nesse caso, podemos definir as funções trigonométricas inversas:
sen^-1 x=arcsen x=y Leftrightarrow sen y=x cos ^-1 x=arccos x=y Leftrightarrow cos y=x
Sabendo disso e usando a derivação implícita, calcule as derivadas das funções:
y=arccos x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=arccos x no intervalo [0,tfracpi2]. O conteúdo envolvido é diferenciação implícita e a relação trigonométrica fundamental sin^2y+cos^2y=1. Vamos usar essas ideias para obter dydx.

Passo 2

Como y=arccos x, temos implicitamente
cos(y)=x
Diferenciando ambos os lados em relação a x e lembrando que y depende de x, obtemos
-sin(y),dydx=1

Passo 3

Isolando dydx na equação anterior, vem
dydx=-1sin(y)

Passo 4

Para escrever a derivada em função de x, usamos que cos(y)=x e a identidade sin^2(y)=1-cos^2(y). Assim,
sin(y)=raiz1-cos^2(y)=raiz1-x^2,
onde escolhemos o sinal positivo pois yinl[0,tfracpi2r]. Logo,
dydx=-1raiz1-x^2

Resposta

ddxl(arccos xr)=-1raiz1-x^2

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