Lembrando que
e usando a derivação implícita, prove que
. Além disso, usando a Regra da Cadeia, prove também que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando diferenciação implícita, que
sabendo que
. Depois, usando a regra da cadeia, provar que
O conteúdo envolve a definição de logaritmo natural via exponencial, diferenciação implícita e a regra da cadeia.
Passo 2
Começamos com a função
. Pela definição de logaritmo natural, isso equivale a
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo usamos a regra da cadeia (pois
depende de
), e no direito a derivada de
é
:
Logo
Mas como
, concluímos
Passo 3
Para a derivada de
, chamemos
Então
. Aplicando a regra da cadeia:
Já sabemos que
(pela parte anterior) e
. Assim