Lembrando que ln x=y Leftrightarrow e^y=x e usando a derivação implícita, prove que dd x(ln x)=1x. Além disso, usando a Regra da Cadeia, prove também que dd x(ln g(x))=g^prime(x)g(x).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando diferenciação implícita, que
ddx(ln x)=1x,
sabendo que ln x=yiff e^y=x. Depois, usando a regra da cadeia, provar que
ddxl(ln(g(x))r)=g'(x)g(x)
O conteúdo envolve a definição de logaritmo natural via exponencial, diferenciação implícita e a regra da cadeia.

Passo 2

Começamos com a função y=ln x. Pela definição de logaritmo natural, isso equivale a
e^y = x
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo usamos a regra da cadeia (pois y depende de x), e no direito a derivada de x é 1:
ddxl(e^yr) = ddy(e^y),dydx = e^y,dydx, ddx(x)=1
Logo
e^y,dydx = 1 Longrightarrow dydx = 1e^y
Mas como e^y=x, concluímos
ddx(ln x)=dydx=1x

Passo 3

Para a derivada de ln(g(x)), chamemos
u = g(x), y = ln(u)
Então ln(g(x))=y(u(x)). Aplicando a regra da cadeia:
ddxl(ln(g(x))r) = dydu,dudx
Já sabemos que dydu=1u (pela parte anterior) e dudx=g'(x). Assim
ddxl(ln(g(x))r) = 1u,g'(x) = g'(x)g(x)

Resposta

ddx(ln x)=1x, ddxl(ln(g(x))r)=g'(x)g(x)

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