Através do método de variação dos parâmetros, determine a solução geral de
y^prime prime+2 y^prime+y=2 e^-t, com y1(t)=e^-t e y2(t)=t e^-t.
Obs.: Nas questões 8, 9 e 10, defina intervalo (contínuo) das funções y1(t) e y2(t) e, antes de utilizar, verifique se são soluções da ED nesse intervalo.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + 2y' + y = 2e^-t,
usando o método de variação de parâmetros.
As soluções fundamentais da homogênea são
y1(t) = e^-t, y2(t) = t,e^-t,
válidas em todo intervalo (-infty,infty). Vamos primeiro verificar que elas satisfazem
y'' + 2y' + y = 0
nesse intervalo.

Passo 2

Calculamos as derivadas:
y1' = -e^-t, y1'' = e^-t,
y2' = e^-t - t,e^-t = (1 - t)e^-t, y2'' = -2e^-t + t,e^-t
Substituindo em y'' + 2y' + y para cada um, vemos que ambas anulam a homogênea.
O Wronskiano é
W(t) = y1 & y2 y1' & y2' = e^-t,(1-t)e^-t - (-e^-t),t e^-t = e^-2tneq0
para todo t, confirmando independência linear.

Passo 3

Pela variação de parâmetros, buscamos
yp = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t),
onde
u1'(t) = -f(t),y2(t)W(t), u2'(t) = f(t),y1(t)W(t),
e f(t)=2e^-t é o termo não homogêneo.

Passo 4

Substituindo,
u1' = -2e^-tcdot t e^-te^-2t = -2t, u2' = 2e^-tcdot e^-te^-2t = 2
Integrando,
u1(t) = -integral 2t,dt = -t^2, u2(t) = integral 2,dt = 2t

Passo 5

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = (-t^2)e^-t + (2t)(t e^-t) = t^2 e^-t
Logo, a solução geral é a soma da homogênea com yp:

Resposta

y(t) = C1,e^-t + C2,t,e^-t + t^2 e^-t

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