considere z=f(x, y), com
f(x, y)=\frac{e^{x}-e^{y}}{e^{x}+e^{y}}
Determine se os seguintes limites existem:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} f(x, y)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y) e pede para determinar se o limite
\lim_{\substack{x\to 0\y\to 0}} f(x,y)
existe, onde
f(x,y)=\frac{e^{x}-e^{y}}{e^{x}+e^{y}}.
Informações fornecidas:
  • A função f é dada por uma razão entre funções envolvendo e^{x} e e^{y}.
  • O ponto onde queremos o limite é (x,y)=(0,0).
    A pergunta é única: existe o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0)? Se existir, qual é o valor?

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (explicado devagarinho).
  • Definição intuitiva: o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L significa que, quando os pontos (x,y) ficam arbitrariamente próximos de (0,0) por qualquer caminho, os valores f(x,y) ficam arbitrariamente próximos de L.
  • Teorema prático (fácil de aplicar): se duas funções g(x,y) e h(x,y) têm limites quando (x,y)\to(0,0), e o limite de h é diferente de zero, então
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{g(x,y)}{h(x,y)} = \frac{\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)}{\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} h(x,y)}.
Ou seja, podemos passar o limite para cima e para baixo na fração quando o denominador não tende a zero.
  • Observação sobre exponencial: a função t\mapsto e^{t} é contínua para todo t. Isso significa que \lim_{t\to 0} e^{t}=e^{0}=1. Em duas variáveis, a mesma ideia vale separadamente: \lim_{(x,y)\to(0,0)} e^{x}=1 e \lim_{(x,y)\to(0,0)} e^{y}=1.

Passo 3

Aplicando as ideias aos componentes da função.
  • Calcular o limite do numerador:
\lim_{\substack{x\to 0\y\to 0}} \bigl(e^{x}-e^{y}\bigr) = \lim_{\substack{x\to 0\y\to 0}} e^{x} \;-\; \lim_{\substack{x\to 0\y\to 0}} e^{y} = 1-1=0,
porque cada exponencial tende a 1 separadamente.
  • Calcular o limite do denominador:
\lim_{\substack{x\to 0\y\to 0}} \bigl(e^{x}+e^{y}\bigr) = \lim_{\substack{x\to 0\y\to 0}} e^{x} \;+\; \lim_{\substack{x\to 0\y\to 0}} e^{y} = 1+1=2.
Importante: o limite do denominador é 2\neq 0, então a hipótese do teorema do passo anterior está satisfeita.

Passo 4

Concluir o limite da razão usando o teorema do quociente.
Como o numerador tende a 0 e o denominador tende a 2\neq 0, vale
\lim_{\substack{x\to 0\y\to 0}} f(x,y) = \frac{0}{2}=0.
Interpretação intuitiva: perto de (0,0) tanto e^{x} quanto e^{y} estão próximos de 1, então a diferença e^{x}-e^{y} é pequena (vai para 0) enquanto a soma e^{x}+e^{y} fica próxima de 2, evitando divisão por algo que anule a fração.

Passo 5

Um argumento alternativo, útil para exame (mostra também o comportamento local):
  • Para t pequeno, e^{t}=1+t+o(t) (ou seja, o resto é de ordem menor que t).
  • Então
e^{x}-e^{y}=(1+x+o(x))-(1+y+o(y))=x-y+o(\|(x,y)\|),
e
e^{x}+e^{y}=2+(x+y)+o(\|(x,y)\|)=2+o(1).
Logo, para (x,y)\to(0,0),
f(x,y)=\frac{x-y+o(\|(x,y)\|)}{2+o(1)}=\frac{x-y}{2}+o(\|(x,y)\|),
que tende a 0 porque (x-y)/2\to 0 quando (x,y)\to(0,0). Isso confirma o resultado e mostra que f é até diferenciável em (0,0) (mas não precisa provar isso agora).

Resposta

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