considere
, com
Determine se os seguintes limites existem:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar se o limite
existe, onde
Informações fornecidas:
- A função
é dada por uma razão entre funções envolvendo e . - O ponto onde queremos o limite é
.
A pergunta é única: existe o limite dequando ? Se existir, qual é o valor?
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar (explicado devagarinho).
- Definição intuitiva: o limite
significa que, quando os pontos ficam arbitrariamente próximos de por qualquer caminho, os valores ficam arbitrariamente próximos de . - Teorema prático (fácil de aplicar): se duas funções
e têm limites quando , e o limite de é diferente de zero, então
Ou seja, podemos passar o limite para cima e para baixo na fração quando o denominador não tende a zero.
- Observação sobre exponencial: a função
é contínua para todo . Isso significa que . Em duas variáveis, a mesma ideia vale separadamente: e .
Passo 3
Aplicando as ideias aos componentes da função.
- Calcular o limite do numerador:
porque cada exponencial tende a
separadamente.
- Calcular o limite do denominador:
Importante: o limite do denominador é
, então a hipótese do teorema do passo anterior está satisfeita.
Passo 4
Concluir o limite da razão usando o teorema do quociente.
Como o numerador tende a e o denominador tende a
, vale
Como o numerador tende a
Interpretação intuitiva: perto de
tanto
quanto
estão próximos de
, então a diferença
é pequena (vai para
) enquanto a soma
fica próxima de
, evitando divisão por algo que anule a fração.
Passo 5
Um argumento alternativo, útil para exame (mostra também o comportamento local):
- Para
pequeno, (ou seja, o resto é de ordem menor que ). - Então
e
Logo, para
,
que tende a
porque
quando
. Isso confirma o resultado e mostra que
é até diferenciável em
(mas não precisa provar isso agora).
Resposta
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