Seja g(x, y)=(y-2)^{2}+y x^{2}
a) Calcule \nabla g.
b) Encontre os pontos críticos de g.
c) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de g.
d) Encontre o determinante hessiano de g.
e) Classifique os pontos críticos de g.
Passo 1
O enunciado nos dá a função \,g(x,y)=(y-2)^{2}+y x^{2}\, e pede cinco itens:
(a) Calcular \nabla g (o gradiente de g).
(b) Encontrar os pontos críticos de g.
(c) Calcular as derivadas parciais de segunda ordem de g.
(d) Calcular o determinante hessiano de g.
(e) Classificar os pontos críticos de g.
Informações relevantes fornecidas:
A função é explícita em termos de x e y: \,g(x,y)=(y-2)^{2}+y x^{2}\,.
Não há restrições de domínio explícitas, portanto o domínio é todo o plano \mathbb{R}^{2}.
Passo 2
O que é o gradiente e como calculá-lo (aula rápida): o gradiente de uma função de duas variáveis \,g(x,y)\, é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de primeira ordem:
Derivada parcial significa derivar em relação a uma variável tratando a outra como constante.
Agora calculemos \dfrac{\partial g}{\partial x}. Tratando y como constante, a parcela (y-2)^{2} é constante (derivada zero) e a parcela y x^{2} tem derivada em relação a x dada por 2 x multiplicado por y:
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=2yx.
Passo 3
Calculemos \dfrac{\partial g}{\partial y}. Tratando x como constante, a derivada de (y-2)^{2} em relação a y é 2(y-2) e a derivada de y x^{2} em relação a y é x^{2}. Portanto:
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=2(y-2)+x^{2}.
Passo 4
Juntando as componentes, obtemos o gradiente final:
\nabla g(x,y)=\bigl(2yx,\;2(y-2)+x^{2}\bigr).
(Dica prática para prova: escreva sempre as duas componentes, verificando se as derivadas parciais tratam a outra variável como constante.)
Passo 5
Definição de ponto crítico (mini-aula): um ponto (x_{0},y_{0})\) é crítico quando \(\nabla g(x_{0},y_{0})=(0,0)\) ou quando alguma derivada parcial não existe. Aqui as derivadas existem para todo \((x,y)\), então basta resolver o sistema
\[\begin{cases} 2yx=0,\\[4pt] 2(y-2)+x^{2}=0. \end{cases}
Resolva o sistema em casos:
Da primeira equação \,2yx=0\,\] vem \(\,yx=0\,, ou seja ou x=0 ou y=0.
Para intuição rápida: os valores da função são \,g(0,2)=0\, e \,g(\pm 2,0)=4\,, o que é consistente com (0,2) sendo um mínimo (valor menor) e os outros sendo cristas/selares em torno de variações com sinais opostos.