Seja g(x, y)=(y-2)^{2}+y x^{2}
a) Calcule \nabla g.
b) Encontre os pontos críticos de g.
c) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de g.
d) Encontre o determinante hessiano de g.
e) Classifique os pontos críticos de g.

Passo 1

O enunciado nos dá a função \,g(x,y)=(y-2)^{2}+y x^{2}\, e pede cinco itens:
  • (a) Calcular \nabla g (o gradiente de g).
  • (b) Encontrar os pontos críticos de g.
  • (c) Calcular as derivadas parciais de segunda ordem de g.
  • (d) Calcular o determinante hessiano de g.
  • (e) Classificar os pontos críticos de g.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é explícita em termos de x e y: \,g(x,y)=(y-2)^{2}+y x^{2}\,.
  • Não há restrições de domínio explícitas, portanto o domínio é todo o plano \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

O que é o gradiente e como calculá-lo (aula rápida): o gradiente de uma função de duas variáveis \,g(x,y)\, é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de primeira ordem:
\nabla g(x,y)=\left(\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,y),\;\dfrac{\partial g}{\partial y}(x,y)\right).
Derivada parcial significa derivar em relação a uma variável tratando a outra como constante.
Agora calculemos \dfrac{\partial g}{\partial x}. Tratando y como constante, a parcela (y-2)^{2} é constante (derivada zero) e a parcela y x^{2} tem derivada em relação a x dada por 2 x multiplicado por y:
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=2yx.

Passo 3

Calculemos \dfrac{\partial g}{\partial y}. Tratando x como constante, a derivada de (y-2)^{2} em relação a y é 2(y-2) e a derivada de y x^{2} em relação a y é x^{2}. Portanto:
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=2(y-2)+x^{2}.

Passo 4

Juntando as componentes, obtemos o gradiente final:
\nabla g(x,y)=\bigl(2yx,\;2(y-2)+x^{2}\bigr).
(Dica prática para prova: escreva sempre as duas componentes, verificando se as derivadas parciais tratam a outra variável como constante.)

Passo 5

Definição de ponto crítico (mini-aula): um ponto (x_{0},y_{0})\) é crítico quando \(\nabla g(x_{0},y_{0})=(0,0)\) ou quando alguma derivada parcial não existe. Aqui as derivadas existem para todo \((x,y)\), então basta resolver o sistema \[\begin{cases} 2yx=0,\\[4pt] 2(y-2)+x^{2}=0. \end{cases}
Resolva o sistema em casos:
  • Da primeira equação \,2yx=0\,\] vem \(\,yx=0\,, ou seja ou x=0 ou y=0.
Caso 1: x=0.
Substituindo na segunda equação:
2(y-2)+0^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad 2(y-2)=0 \quad\Rightarrow\quad y=2.
Portanto (0,2) é um ponto crítico.
Caso 2: y=0.
Substituindo na segunda equação:
2(0-2)+x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad -4+x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
Portanto (2,0) e (-2,0) são pontos críticos.
Conclusão: os pontos críticos são (0,2), (2,0) e (-2,0).]

Passo 6

Agora as derivadas parciais de segunda ordem (definição e cálculo): as segundas derivadas são
g_{xx}=\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}},\quad g_{yy}=\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}},\quad g_{xy}=\frac{\partial^{2} g}{\partial x\partial y},\quad g_{yx}=\frac{\partial^{2} g}{\partial y\partial x}.
A partir das primeiras derivadas já calculadas:
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=2yx \quad\Rightarrow\quad g_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(2yx)=2y,
g_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(2yx)=2x.
E da outra primeira derivada:
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=2(y-2)+x^{2}\quad\Rightarrow\quad g_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2(y-2)+x^{2}\bigr)=2,
g_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2(y-2)+x^{2}\bigr)=2x.
Observação: g_{xy}=g_{yx}=2x (simetria de Clairaut, válida pois as derivadas são contínuas).

Passo 7

Escrevendo a matriz Hessiana e deixando claro a forma:
H_{g}(x,y)= \begin{pmatrix} g_{xx}(x,y) & g_{xy}(x,y)\\[4pt] g_{yx}(x,y) & g_{yy}(x,y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2y & 2x\\[4pt] 2x & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Cálculo do determinante hessiano D(x,y)=\det H_{g}(x,y). Fazendo o determinante da matriz:
D(x,y)=(2y)\cdot(2)- (2x)\cdot(2x)=4y-4x^{2}=4\bigl(y-x^{2}\bigr).
Portanto o determinante hessiano é \,D(x,y)=4(y-x^{2}).

Passo 9

Teste das segundas derivadas para classificar pontos críticos (mini-aula): para uma função de duas variáveis, em um ponto crítico (x_{0},y_{0})
  • se D(x_{0},y_{0})>0 e g_{xx}(x_{0},y_{0})>0 então há mínimo local;
  • se D(x_{0},y_{0})>0 e g_{xx}(x_{0},y_{0})<0 então há máximo local;
  • se D(x_{0},y_{0})<0 então é ponto de sela;
  • se D(x_{0},y_{0})=0 o teste é inconclusivo.
Apliquemos aos pontos críticos encontrados.
Para (0,2):
D(0,2)=4(2-0^{2})=8>0,\qquad g_{xx}(0,2)=2y\big|_{y=2}=4>0.
Logo (0,2) é um mínimo local.
Para (2,0):
D(2,0)=4(0-2^{2})=4(0-4)=-16<0.
Logo (2,0) é ponto de sela.
Para (-2,0):
D(-2,0)=4(0-(-2)^{2})=4(0-4)=-16<0.
Logo (-2,0) é ponto de sela.
Para intuição rápida: os valores da função são \,g(0,2)=0\, e \,g(\pm 2,0)=4\,, o que é consistente com (0,2) sendo um mínimo (valor menor) e os outros sendo cristas/selares em torno de variações com sinais opostos.

Resposta

(a) \nabla g(x,y)=\bigl(2yx,\;2(y-2)+x^{2}\bigr)
(b) Pontos críticos: (0,2),\;(2,0),\;(-2,0)
(c) g_{xx}(x,y)=2y,\quad g_{xy}(x,y)=2x,\quad g_{yx}(x,y)=2x,\quad g_{yy}(x,y)=2
(d) D(x,y)=\det H_{g}(x,y)=4\bigl(y-x^{2}\bigr)
(e) Classificação:
(0,2) — mínimo local;
(2,0) — ponto de sela;
(-2,0) — ponto de sela.

Exercícios relacionados