considere
, com
Determine se os seguintes limites existem:
Passo 1
O enunciado dá a função
com
e pede para determinar se existe o limite
Informações relevantes que temos:
- A expressão
está bem definida quando . Se o denominador é zero e a expressão não está definida nesse ponto, mas o limite em várias variáveis permite aproximar por pontos com . - Queremos saber se, ao aproximar
de por quaisquer caminhos (desde que os pontos da sequência tenham ), o valor de tende para um mesmo número finito. Se sim, o limite existe e é esse número.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): usar o Teorema do Valor Médio (MVT) para a função exponencial no intervalo entre
e
. Vou primeiro explicar o MVT de forma simples e depois aplicá-lo ao numerador
.
Teorema do Valor Médio (forma usada aqui): para uma função
contínua em
e derivável em
, existe
tal que
Aplicando ao caso
, que é contínua e derivável em toda a reta, para quaisquer
e
distintos existe um
entre
e
tal que
Isso é muito útil porque transforma a diferença de exponenciais em um fator multiplicativo vezes
.
Passo 3
Aplicação direta do MVT ao numerador. Suponha
. Pelo MVT existe
entre
e
com
Substituindo isso em
temos
Dividindo por
(lembrando que estamos só considerando pontos com
) obtemos
Aqui
depende de
e
e satisfaz
está entre
e
.
Passo 4
Análise do comportamento de
e passagem ao limite. Quando
ambos
e
tendem a
; como
está entre
e
, segue que
também. Agora examine a expressão
Ao enviar
temos
e
. Portanto o quociente tende para
Isto mostra que qualquer sequência de pontos
com
e
produzirá valores de
que tendem para
. Assim o limite existe e é
.
Passo 5
Comentário sobre rigor e sobre o caso
: a função
não está definida na reta
, mas a definição de limite em
permite que a função seja definida num vizinho de
exceptuando possivelmente a própria reta
. O argumento pelo MVT mostra que, em qualquer vizinhança de
, para todos os pontos com
o valor da expressão é
com
entre
e
; ao deixar
ir para
esse valor tende para
. Portanto o limite (no sentido usual de dois variáveis) existe e vale
.
Passo 6
Explicação alternativa (intuição via séries de Taylor, opcional): expandindo
e
em série de Taylor até segunda ordem,
Fazendo as contas como na análise (dividindo o numerador por
e invertendo o denominador), obtém-se a expansão
o que também mostra que o valor se aproxima de
e que as correções são de ordem quadrática — reforçando que o limite é
.