considere z=f(x, y), com
f(x, y)=\frac{e^{x}-e^{y}}{e^{x}+e^{y}}
Determine se os seguintes limites existem:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x-y}

Passo 1

O enunciado dá a função z=f(x,y) com
f(x,y)=\frac{e^{x}-e^{y}}{e^{x}+e^{y}}
e pede para determinar se existe o limite
\lim_{\substack{x\to0\y\to0}}\frac{f(x,y)}{x-y}.
Informações relevantes que temos:
  • A expressão \dfrac{f(x,y)}{x-y} está bem definida quando x\neq y. Se x=y o denominador é zero e a expressão não está definida nesse ponto, mas o limite em várias variáveis permite aproximar (0,0) por pontos com x\neq y.
  • Queremos saber se, ao aproximar (x,y) de (0,0) por quaisquer caminhos (desde que os pontos da sequência tenham x\neq y), o valor de \dfrac{f(x,y)}{x-y} tende para um mesmo número finito. Se sim, o limite existe e é esse número.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): usar o Teorema do Valor Médio (MVT) para a função exponencial no intervalo entre x e y. Vou primeiro explicar o MVT de forma simples e depois aplicá-lo ao numerador e^{x}-e^{y}.
Teorema do Valor Médio (forma usada aqui): para uma função g contínua em [a,b] e derivável em (a,b), existe c\in(a,b) tal que
g(b)-g(a)=g'\text{(c)}\,(b-a).
Aplicando ao caso g(t)=e^{t}, que é contínua e derivável em toda a reta, para quaisquer x e y distintos existe um c entre x e y tal que
e^{x}-e^{y}=e^{c}\,(x-y).
Isso é muito útil porque transforma a diferença de exponenciais em um fator multiplicativo vezes (x-y).

Passo 3

Aplicação direta do MVT ao numerador. Suponha x\neq y. Pelo MVT existe c entre x e y com
e^{x}-e^{y}=e^{c}(x-y).
Substituindo isso em f(x,y) temos
f(x,y)=\frac{e^{x}-e^{y}}{e^{x}+e^{y}}=\frac{e^{c}(x-y)}{e^{x}+e^{y}}.
Dividindo por (x-y) (lembrando que estamos só considerando pontos com x\neq y) obtemos
\frac{f(x,y)}{x-y}=\frac{e^{c}}{e^{x}+e^{y}}.
Aqui c depende de x e y e satisfaz c está entre x e y.

Passo 4

Análise do comportamento de c e passagem ao limite. Quando (x,y)\to(0,0) ambos x e y tendem a 0; como c está entre x e y, segue que c\to0 também. Agora examine a expressão
\frac{f(x,y)}{x-y}=\frac{e^{c}}{e^{x}+e^{y}}.
Ao enviar (x,y)\to(0,0) temos e^{c}\to e^{0}=1 e e^{x}+e^{y}\to e^{0}+e^{0}=2. Portanto o quociente tende para
\frac{1}{2}.
Isto mostra que qualquer sequência de pontos (x_n,y_n) com x_n\neq y_n e (x_n,y_n)\to(0,0) produzirá valores de \dfrac{f(x_n,y_n)}{x_n-y_n} que tendem para 1/2. Assim o limite existe e é 1/2.

Passo 5

Comentário sobre rigor e sobre o caso x=y: a função \dfrac{f(x,y)}{x-y} não está definida na reta x=y, mas a definição de limite em \mathbb{R}^2 permite que a função seja definida num vizinho de (0,0) exceptuando possivelmente a própria reta x=y. O argumento pelo MVT mostra que, em qualquer vizinhança de (0,0), para todos os pontos com x\neq y o valor da expressão é \dfrac{e^{c}}{e^{x}+e^{y}} com c entre x e y; ao deixar (x,y) ir para (0,0) esse valor tende para 1/2. Portanto o limite (no sentido usual de dois variáveis) existe e vale 1/2.

Passo 6

Explicação alternativa (intuição via séries de Taylor, opcional): expandindo e^{x} e e^{y} em série de Taylor até segunda ordem,
e^{x}=1+x+\tfrac{x^{2}}{2}+O(\|(x,y)\|^{3}),\qquad e^{y}=1+y+\tfrac{y^{2}}{2}+O(\|(x,y)\|^{3}).
Fazendo as contas como na análise (dividindo o numerador por x-y e invertendo o denominador), obtém-se a expansão
\frac{f(x,y)}{x-y}=\frac{1}{2}+O\big(\|(x,y)\|^{2}\big),
o que também mostra que o valor se aproxima de \tfrac{1}{2} e que as correções são de ordem quadrática — reforçando que o limite é \tfrac{1}{2}.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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