quando (h,k)\to(0,0). Uma condição prática muito usada: se as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} existem em um vizinhança de (0,0) e são contínuas em (0,0), então f é diferenciável em (0,0). Vou calcular as derivadas parciais e verificar continuidade para justificar diferenciabilidade.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais gerais de f (usa-se a regra do quociente). Denotando
N(x,y)=e^{x}-e^{y},\qquad D(x,y)=e^{x}+e^{y},
temos f=\dfrac{N}{D}. Então
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{N_x D - N D_x}{D^{2}}.
De forma análoga para \dfrac{\partial f}{\partial y} aplicando a regra do quociente (ou observando simetria trocando x por y e lembrando o sinal), temos
As expressões para \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} são combinações de exponenciais e operações algébricas (frações, potências), logo são funções contínuas em toda \mathbb{R}^{2}. Em particular são contínuas em (0,0). Pelo critério citado no Passo 2 (derivadas parciais existentes e contínuas numa vizinhança), conclui-se que f é diferenciável em (0,0).
Passo 6
Preparação para a parte (b): a regra da cadeia para composição h(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)) diz, de maneira elementar,