Seja g(x, y)=a+x^{2}+y^{2}, com a uma constante fixada.
a) Calcule \nabla g.
b) Encontre os pontos críticos de g.
c) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de g.
d) Encontre o determinante hessiano de g.
e) Classifique os pontos críticos de g.

Passo 1

O enunciado nos dá a função g(x,y)=a+x^{2}+y^{2}, com a uma constante fixada, e pede:
  • (a) Calcular \nabla g.
  • (b) Encontrar os pontos críticos de g.
  • (c) Calcular as derivadas parciais de segunda ordem de g.
  • (d) Encontrar o determinante hessiano de g.
  • (e) Classificar os pontos críticos de g.

Passo 2

O que é \nabla g e como calcular? \nabla g é o vetor gradiente, composto pelas derivadas parciais de primeira ordem de g. Cada componente é a derivada de g em relação a uma das variáveis, tratando a outra como constante.
Calculemos as derivadas:
Para a derivada em relação a x: a constante a some, x^{2} 2x e y^{2} é tratado como constante (derivada zero). Logo
\frac{\partial g}{\partial x}=2x.
Para a derivada em relação a y: análogo,
\frac{\partial g}{\partial y}=2y.
Assim o gradiente é o vetor cujas entradas são essas derivadas:
\nabla g(x,y)=\bigl(2x,\;2y\bigr).

Passo 3

O que é ponto crítico? É um ponto onde o gradiente é o vetor nulo (ou onde as derivadas parciais não existem, o que não é o caso aqui). Então resolvemos
\nabla g(x,y)=(2x,2y)=(0,0).
Isto dá o sistema
2x=0,\qquad 2y=0,
portanto
x=0,\qquad y=0.
Logo o único ponto crítico é (0,0). Também podemos anotar o valor de g nesse ponto:
g(0,0)=a+0^{2}+0^{2}=a.

Passo 4

Agora as derivadas parciais de segunda ordem. Por definição:
g_{xx}=\frac{\partial^{2}g}{\partial x^{2}},\quad g_{yy}=\frac{\partial^{2}g}{\partial y^{2}},\quad g_{xy}=\frac{\partial^{2}g}{\partial x\partial y},\quad g_{yx}=\frac{\partial^{2}g}{\partial y\partial x}.
Calculemos:
  • Diferenciando \frac{\partial g}{\partial x}=2x em relação a x obtemos
g_{xx}=2.
  • Diferenciando \frac{\partial g}{\partial y}=2y em relação a y obtemos
g_{yy}=2.
  • Diferenciando \frac{\partial g}{\partial x}=2x em relação a y obtemos
g_{xy}=0,
e por igualdade das derivadas mistas (a função é suave) temos
g_{yx}=0.

Passo 5

Formamos a matriz Hessiana \mathrm{H}g (matriz das segundas derivadas):
\mathrm{H}g(x,y)=\begin{pmatrix} g_{xx} & g_{xy} \\[4pt] g_{yx} & g_{yy}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
O determinante hessiano é
\det\mathrm{H}g = (2)(2)-(0)(0)=4.]

Passo 6

Como classificar o ponto crítico? Usamos o teste das segundas derivadas em duas variáveis:
  • Se \det\mathrm{H}g(p)>0 e g_{xx}(p)>0 então p é ponto de mínimo local estrito.
  • Se \det\mathrm{H}g(p)>0 e g_{xx}(p)<0 então p é ponto de máximo local estrito.
  • Se \det\mathrm{H}g(p)<0 então p é sela.
  • Se \det\mathrm{H}g(p)=0 o teste é inconclusivo.
Aplicando em (0,0): \det\mathrm{H}g(0,0)=4>0 e g_{xx}(0,0)=2>0. Portanto (0,0) é um ponto de mínimo local estrito.
Além disso, como x^{2}+y^{2}\ge 0 para todo (x,y), tem-se g(x,y)=a+x^{2}+y^{2}\ge a com igualdade apenas em (0,0). Logo (0,0) é também mínimo global e o valor mínimo de g é a.

Passo 7

Resumo intuitivo e comparação com exemplos: a função é a soma de uma constante mais duas parábolas em x e em y. Cada parcela x^{2} e y^{2} “puxa” para cima; por isso o único crítico é o fundo da tigela, (0,0). Para contraste: x^{2}-y^{2} daria um ponto de sela porque uma direção sobe e outra desce.
Força aí — essa é daquelas questões que dão pouco trabalho na prova quando se sabe o passo a passo!

Resposta

(a) \nabla g(x,y)=\bigl(2x,\;2y\bigr)
(b) ponto crítico: (0,0) com g(0,0)=a
(c) g_{xx}=2,\quad g_{yy}=2,\quad g_{xy}=g_{yx}=0
(d) \det\mathrm{H}g=4
(e) (0,0) é um mínimo estrito (e também mínimo global) com valor g(0,0)=a

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