Seja
, com
uma constante fixada.
a) Calcule
.
b) Encontre os pontos críticos de
.
c) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de
.
d) Encontre o determinante hessiano de
.
e) Classifique os pontos críticos de
.
a) Calcule
b) Encontre os pontos críticos de
c) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de
d) Encontre o determinante hessiano de
e) Classifique os pontos críticos de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
, com
uma constante fixada, e pede:
- (a) Calcular
. - (b) Encontrar os pontos críticos de
. - (c) Calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
. - (d) Encontrar o determinante hessiano de
. - (e) Classificar os pontos críticos de
.
Passo 2
O que é
e como calcular?
é o vetor gradiente, composto pelas derivadas parciais de primeira ordem de
. Cada componente é a derivada de
em relação a uma das variáveis, tratando a outra como constante.
Calculemos as derivadas:
Para a derivada em relação a
: a constante
some,
dá
e
é tratado como constante (derivada zero). Logo
Para a derivada em relação a
: análogo,
Assim o gradiente é o vetor cujas entradas são essas derivadas:
Passo 3
O que é ponto crítico? É um ponto onde o gradiente é o vetor nulo (ou onde as derivadas parciais não existem, o que não é o caso aqui). Então resolvemos
Isto dá o sistema
portanto
Logo o único ponto crítico é
. Também podemos anotar o valor de
nesse ponto:
Passo 4
Agora as derivadas parciais de segunda ordem. Por definição:
Calculemos:
- Diferenciando
em relação a obtemos
- Diferenciando
em relação a obtemos
- Diferenciando
em relação a obtemos
e por igualdade das derivadas mistas (a função é suave) temos
Passo 5
Formamos a matriz Hessiana
(matriz das segundas derivadas):
O determinante hessiano é
Passo 6
Como classificar o ponto crítico? Usamos o teste das segundas derivadas em duas variáveis:
- Se
e então é ponto de mínimo local estrito. - Se
e então é ponto de máximo local estrito. - Se
então é sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Aplicando em
:
e
. Portanto
é um ponto de mínimo local estrito.
Além disso, como
para todo
, tem-se
com igualdade apenas em
. Logo
é também mínimo global e o valor mínimo de
é
.
Passo 7
Resumo intuitivo e comparação com exemplos: a função é a soma de uma constante mais duas parábolas em
e em
. Cada parcela
e
“puxa” para cima; por isso o único crítico é o fundo da tigela,
. Para contraste:
daria um ponto de sela porque uma direção sobe e outra desce.
Força aí — essa é daquelas questões que dão pouco trabalho na prova quando se sabe o passo a passo!
Resposta
(a)
(b) ponto crítico: com
(c)
(d)
(e) é um mínimo estrito (e também mínimo global) com valor
(b) ponto crítico:
(c)
(d)
(e)