considere
, com
a) Calcule
b) Determine, se existir, o plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
b) Determine, se existir, o plano tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Calcular
(ou seja, as derivadas parciais e ). - (b) Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico de
no ponto .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função está definida por uma razão entre
e . - O ponto onde se quer o plano tangente é
. Note que é preciso verificar o valor de em para confirmar a coordenada .
Passo 2
Explicação didática sobre derivadas parciais e regra do quociente:
- A derivada parcial
é a derivada de em relação a tratando como constante. - Para uma função dada por uma razão
, vale a regra do quociente:
onde
e
.
Agora aplicamos isso com e
.
Calculemos as derivadas parciais intermediárias:
Agora aplicamos isso com
Calculemos as derivadas parciais intermediárias:
Passo 3
Calcular
usando a regra do quociente e simplificar passo a passo:
No numerador, desenvolvendo:
Logo
Passo 4
Agora calcule
. Novamente, a derivada parcial em relação a
trata
como constante. Para
e
:
Aplicando a regra do quociente:
No numerador:
Portanto
Passo 5
Juntando as duas derivadas parciais, obtemos o gradiente:
Observação: pode-se fatorar o escalar comum:
Passo 6
Agora avaliamos em
e calculamos também
para usar na equação do plano tangente.
- Primeiro
:
- Derivadas em
: com e ,
Passo 7
Explicação didática sobre o plano tangente e aplicação:
- Se
é diferenciável em , o plano tangente ao gráfico no ponto tem equação
Aqui
,
,
,
,
. Substituindo:
Ou, de forma simplificada,
Resposta
(a)
(b) Plano tangente em
: