considere z=f(x, y), com
f(x, y)=\frac{e^{x}-e^{y}}{e^{x}+e^{y}}
a) Calcule \nabla f
b) Determine, se existir, o plano tangente ao gráfico de f no ponto P(0,0,0)).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\frac{e^{x}-e^{y}}{e^{x}+e^{y}}
e pede duas coisas:
  • (a) Calcular \nabla f (ou seja, as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y).
  • (b) Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico de f no ponto P(0,0,0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função está definida por uma razão entre N(x,y)=e^{x}-e^{y} e D(x,y)=e^{x}+e^{y}.
  • O ponto onde se quer o plano tangente é (x,y,z)=(0,0,0). Note que é preciso verificar o valor de f em (0,0) para confirmar a coordenada z.

Passo 2

Explicação didática sobre derivadas parciais e regra do quociente:
  • A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x tratando y como constante.
  • Para uma função dada por uma razão \dfrac{N(x,y)}{D(x,y)}, vale a regra do quociente:
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{N}{D}\right)=\frac{N_x D - N D_x}{D^2},
onde N_x=\dfrac{\partial N}{\partial x} e D_x=\dfrac{\partial D}{\partial x}.
Agora aplicamos isso com N(x,y)=e^{x}-e^{y} e D(x,y)=e^{x}+e^{y}.
Calculemos as derivadas parciais intermediárias:
N_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}-e^{y}\bigr)=e^{x}, \qquad D_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr)=e^{x}.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} usando a regra do quociente e simplificar passo a passo:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{N_x D - N D_x}{D^2} = \frac{e^{x}\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr) - \bigl(e^{x}-e^{y}\bigr)e^{x}}{\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr)^{2}}.
No numerador, desenvolvendo:
e^{x}\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr) - \bigl(e^{x}-e^{y}\bigr)e^{x} = e^{2x}+e^{x+y} - e^{2x} + e^{x+y} = 2e^{x+y}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2e^{x+y}}{\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr)^{2}}.

Passo 4

Agora calcule \dfrac{\partial f}{\partial y}. Novamente, a derivada parcial em relação a y trata x como constante. Para N e D:
N_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}-e^{y}\bigr) = -e^{y}, \qquad D_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr) = e^{y}.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{N_y D - N D_y}{D^2} = \frac{-e^{y}\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr) - \bigl(e^{x}-e^{y}\bigr)e^{y}}{\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr)^{2}}.
No numerador:
- e^{y}\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr) - \bigl(e^{x}-e^{y}\bigr)e^{y} = -e^{x+y} - e^{2y} - e^{x+y} + e^{2y} = -2e^{x+y}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -\frac{2e^{x+y}}{\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr)^{2}}.

Passo 5

Juntando as duas derivadas parciais, obtemos o gradiente:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \left(\frac{2e^{x+y}}{\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr)^{2}},\; -\frac{2e^{x+y}}{\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr)^{2}}\right).
Observação: pode-se fatorar o escalar comum:
\nabla f(x,y)=\frac{2e^{x+y}}{\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr)^{2}}\,(1,-1).

Passo 6

Agora avaliamos em (0,0) e calculamos também f(0,0) para usar na equação do plano tangente.
  • Primeiro f(0,0):
f(0,0)=\frac{e^{0}-e^{0}}{e^{0}+e^{0}}=\frac{1-1}{1+1}=0.
  • Derivadas em (0,0): com e^{0}=1 e e^{0+0}=1,
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{2\cdot 1}{(1+1)^{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-\frac{1}{2}.

Passo 7

Explicação didática sobre o plano tangente e aplicação:
  • Se f é diferenciável em (a,b), o plano tangente ao gráfico z=f(x,y) no ponto (a,b,f(a,b)) tem equação
z=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b).
Aqui a=0, b=0, f(0,0)=0, f_x(0,0)=\tfrac{1}{2}, f_y(0,0)=-\tfrac{1}{2}. Substituindo:
z=0+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y.
Ou, de forma simplificada,
z=\frac{x-y}{2}.

Resposta

(a) \nabla f(x,y)=\left(\dfrac{2e^{x+y}}{\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr)^{2}},\; -\dfrac{2e^{x+y}}{\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr)^{2}}\right)
(b) Plano tangente em P(0,0,0): \displaystyle z=\frac{x-y}{2}

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