considere z=f(x, y), com
f(x, y)=\frac{x-y}{x+y}
Determine se os seguintes limites existem:
a) \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} f(x, y)
b) \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}}(x+y) f(x, y)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y) definida por
f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}.
Devemos analisar dois limites quando (x,y) tende a (0,0):
a) \displaystyle \lim_{\substack{x\to0\y\to0}} f(x,y).
b) \displaystyle \lim_{\substack{x\to0\y\to0}} (x+y)\,f(x,y).
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A expressão de f tem um denominador x+y. Logo f não está definida nos pontos onde x+y=0 (essa reta passa pela origem).
  • Os limites pedem o comportamento de f e de (x+y)f quando (x,y) se aproxima de (0,0) por quaisquer caminhos (desde que os pontos do caminho pertençam ao domínio da função).

Passo 2

Lembrete didático sobre o que significa mostrar que um limite em duas variáveis existe ou não:
  • O limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} F(x,y)=L existe se, para toda sequência de pontos (x_n,y_n) do domínio de F que tende a (0,0), os valores F(x_n,y_n) tendem para o mesmo número L.
  • Uma maneira prática e comum de verificar que um limite NÃO existe é encontrar duas curvas (do domínio) que chegam à origem e dão limites diferentes para F. Se existir pelo menos um par de caminhos com limites distintos, o limite não existe.
  • Se conseguimos simplificar a expressão para uma função contínua próxima da origem (no domínio considerado), podemos usar continuidade para avaliar o limite.
Agora vamos aplicar essas ideias às duas partes.

Passo 3

Analisando a parte (a): testar limites por caminhos simples.
Escolho a reta y=0. Para y=0 e x\neq0 (pontos do domínio),
f(x,0)=\frac{x-0}{x+0}=\frac{x}{x}=1.
Portanto, ao aproximar (x,0)\to(0,0) com x\neq0, os valores de f(x,0) são sempre 1, então o limite ao longo dessa reta é 1.

Passo 4

Ainda na parte (a), escolho a reta x=0. Para x=0 e y\neq0 (pontos do domínio),
f(0,y)=\frac{0-y}{0+y}=\frac{-y}{y}=-1.
Ao aproximar (0,y)\to(0,0) com y\neq0, os valores de f(0,y) são sempre -1, então o limite ao longo dessa reta é -1.

Passo 5

Como os limites ao longo de dois caminhos (as retas y=0 e x=0) são diferentes ( 1 e -1), concluímos que
\lim_{\substack{x\to0\y\to0}} f(x,y)
não existe. Um comentário extra: a reta y=-x é onde o denominador anula e, portanto, pontos dessa reta não pertencem ao domínio de f; isso não impede usar outras retas/curvas do domínio para testar limites.

Passo 6

Agora a parte (b). Defina a função
g(x,y)=(x+y)\,f(x,y)=(x+y)\cdot\frac{x-y}{x+y}.
Observe que essa identidade algébrica é válida para todos os pontos em que x+y\neq0 (ou seja, no domínio de f). Nessas pontos os fatores x+y cancelam, ficando simplesmente
g(x,y)=x-y \qquad\text{(para }x+y\neq0\text{)}.

Passo 7

Explicação didática sobre o cancelamento: não se está avaliando g no ponto onde x+y=0; o limite considera pontos próximos à origem mas distintos dela, e há muitos pontos próximos à origem com x+y\neq0. Portanto é legítimo usar a forma simplificada g(x,y)=x-y ao estudar o limite.
Agora calculemos o limite de x-y quando (x,y)\to(0,0). Como x\to0 e y\to0, a diferença x-y\to0. Podemos dar uma prova \varepsilon- \delta curta para ficar firme:
Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon/2. Se \sqrt{x^2+y^2}<\delta, então |x|<\delta e |y|<\delta, daí
|x-y|\le |x|+|y|<\delta+\delta=2\delta=\varepsilon.
Isso mostra que \lim_{(x,y)\to(0,0)}(x-y)=0. Como para pontos do domínio original temos (x+y)f(x,y)=x-y, concluímos que
\lim_{\substack{x\to0\y\to0}} (x+y)\,f(x,y)=0.

Passo 8

Resumo final (breve e motivador): a função f tem comportamento dependente do caminho — por exemplo dá 1 e -1 ao longo de retas diferentes — então o limite de f em (0,0) não existe. Já o produto (x+y)f(x,y) simplifica para x-y fora da reta x+y=0, e essa função vai para 0 quando (x,y)\to(0,0); portanto esse segundo limite existe e vale 0. Vai dar tudo certo na prova — respira, e pratique mais uns exemplos parecidos.

Resposta

a) não existe
b) 0

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