considere
, com
Determine se os seguintes limites existem:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
Devemos analisar dois limites quando
tende a
:
a)
.
b)
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A expressão de
tem um denominador . Logo não está definida nos pontos onde (essa reta passa pela origem). - Os limites pedem o comportamento de
e de quando se aproxima de por quaisquer caminhos (desde que os pontos do caminho pertençam ao domínio da função).
Passo 2
Lembrete didático sobre o que significa mostrar que um limite em duas variáveis existe ou não:
- O limite
existe se, para toda sequência de pontos do domínio de que tende a , os valores tendem para o mesmo número . - Uma maneira prática e comum de verificar que um limite NÃO existe é encontrar duas curvas (do domínio) que chegam à origem e dão limites diferentes para
. Se existir pelo menos um par de caminhos com limites distintos, o limite não existe. - Se conseguimos simplificar a expressão para uma função contínua próxima da origem (no domínio considerado), podemos usar continuidade para avaliar o limite.
Agora vamos aplicar essas ideias às duas partes.
Passo 3
Analisando a parte (a): testar limites por caminhos simples.
Escolho a reta
. Para
e
(pontos do domínio),
Portanto, ao aproximar
com
, os valores de
são sempre
, então o limite ao longo dessa reta é
.
Passo 4
Ainda na parte (a), escolho a reta
. Para
e
(pontos do domínio),
Ao aproximar
com
, os valores de
são sempre
, então o limite ao longo dessa reta é
.
Passo 5
Como os limites ao longo de dois caminhos (as retas
e
) são diferentes (
e
), concluímos que
não existe. Um comentário extra: a reta
é onde o denominador anula e, portanto, pontos dessa reta não pertencem ao domínio de
; isso não impede usar outras retas/curvas do domínio para testar limites.
Passo 6
Agora a parte (b). Defina a função
Observe que essa identidade algébrica é válida para todos os pontos em que
(ou seja, no domínio de
). Nessas pontos os fatores
cancelam, ficando simplesmente
Passo 7
Explicação didática sobre o cancelamento: não se está avaliando
no ponto onde
; o limite considera pontos próximos à origem mas distintos dela, e há muitos pontos próximos à origem com
. Portanto é legítimo usar a forma simplificada
ao estudar o limite.
Agora calculemos o limite de
quando
. Como
e
, a diferença
. Podemos dar uma prova
-
curta para ficar firme:
Dado
, escolha
. Se
, então
e
, daí
Isso mostra que
. Como para pontos do domínio original temos
, concluímos que
Passo 8
Resumo final (breve e motivador): a função
tem comportamento dependente do caminho — por exemplo dá
e
ao longo de retas diferentes — então o limite de
em
não existe. Já o produto
simplifica para
fora da reta
, e essa função vai para
quando
; portanto esse segundo limite existe e vale
. Vai dar tudo certo na prova — respira, e pratique mais uns exemplos parecidos.
Resposta
a) não existe
b)