Consideremos a difusão unidimensional da espécie A através de um meio plano, composto por A e B para as condições de regime estacionário, sem reação química homogênea. Deduzir o perfil de concentração e o fluxo molar a partir da equação da difusão da espécie A, ou seja:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação geral da difusão (tridimensional) da espécie A:
O que o problema pede: deduzir o perfil de concentração (perfil de fração molar
) e o fluxo molar da espécie A, para o caso unidimensional, em regime estacionário e sem reação homogênea.
Informações fornecidas e hipóteses que vou usar (tudo tirado/decidido a partir do enunciado, sem pedir informação extra):
- Regime estacionário: não há dependência temporal.
- Unidimensional: só variação com
, ou seja . - Sem reação homogênea:
. - Vou assumir propriedades constantes ao longo do plano:
(concentração molar total) e constantes. Essa é a hipótese mais comum para exercícios desse tipo e simplifica a integração; se ou dependessem de teríamos que integrar de outra forma. - Precisarei de condições de contorno para fixar constantes de integração. Vou nomeá-las assim: em
tem-se e em tem-se . Esses dois valores representam as frações molares conhecidas nas superfícies do plano.
Resumo do objetivo prático: a partir da equação reduzi-la a uma ODE em
, integrar e aplicar as condições de contorno para obter
e o fluxo molar de A.
Passo 2
Redução da equação para 1D e usar
.
Como é unidimensional (
) e
, a equação tridimensional reduz-se a
Explicando a física dessa equação de forma simples: o termo
é a divergência do fluxo difusivo (em molaridade), e igualá‑la a zero significa que, em regime estacionário e sem fontes/sumidouros, o fluxo difusivo é conservado ao longo de
— ou seja, é uma constante ao longo da direção
.
Passo 3
Integração uma vez: resultado e identificação com o fluxo difusivo.
Integrando a ODE obtida:
onde
é uma constante de integração (independente de
).
Agora é útil relacionar isso com a Lei de Fick (forma simples): a lei de Fick para difusão molar (sem fluxo total) diz que o fluxo difusivo molar de A é proporcional ao gradiente de fração molar:
Aqui:
-
é o fluxo molar difusivo de A por unidade de área (unidades típicas: mol m^{-2} s^{-1}), -
é a concentração total molar (mol m^{-3}), -
é o coeficiente de difusão binária (m^2 s^{-1}), -
é a fração molar de A.
Comparando com a constante
acima, obtemos
Ou seja, o fluxo molar difusivo de A é constante ao longo da placa (confirmando a interpretação física).
Passo 4
Integração final para obter o perfil linear de fração molar e fixar a constante usando as condições de contorno.
A equação
pode ser rearranjada e integrada:
Integrando em
:
onde
é outra constante de integração.
Aplicando as condições de contorno:
- em
: . - em
: .
Da segunda condição obtemos
:
Substituindo em
obtemos o perfil linear:
Esse é o perfil de fração molar: uma variação linear entre as superfícies
e
, resultado clássico quando
e
são constantes e não há reações.
Passo 5
Expressão explícita do fluxo molar de A e interpretação de sinal.
Lembrando que
, substituímos
:
Podemos também escrever de forma que o sinal fique intuitivo:
Interpretação: se
(mais A em
do que em
), então
, ou seja há fluxo de A no sentido positivo de
(do lado 0 para
). A forma alternativa
deixa explícita a força motriz: gradiente de fração molar.
Passo 6
Observações práticas e casos relacionados (curta aula adicional e dicas para prova).
- Quando escrever a equação diferencial, identificar rapidamente que, para
e simetria 1D, o termo dentro da derivada é constante. Isso reduz muito o trabalho: uma integração basta para perceber que o fluxo é constante e uma segunda integração dá o perfil linear. - Se
ou não forem constantes, não se pode puxá‑los para fora; a integral fica:
e aí integra-se
usando as funções dadas.
- Se houver fluxo total
(ou seja, movimento de arraste do fluido), a forma geral do fluxo de A é
e então a análise muda um pouco porque
aparece multiplicando
. No entanto, para muitos exercícios de prova assume‑se
.
- Em gases ideais, pode-se relacionar
com pressão e temperatura: . Assim o fluxo pode ser dado em termos de se necessário.
Força‑motriz resumida: gradiente de fração molar; resultado típico: perfil linear e fluxo proporcional à diferença de frações molares dividida pela espessura.