Consideremos a difusão unidimensional da espécie A através de um meio plano, composto por A e B para as condições de regime estacionário, sem reação química homogênea. Deduzir o perfil de concentração e o fluxo molar a partir da equação da difusão da espécie A, ou seja:
\frac{d}{d x}\left(C D_{A B} \frac{d x_{A}}{d x}\right)+\frac{d}{d y}\left(C D_{A B} \frac{d x_{A}}{d y}\right)+\frac{d}{d z}\left(C D_{A B} \frac{d x_{A}}{d z}\right)=R_{A}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação geral da difusão (tridimensional) da espécie A:
\frac{d}{d x}\!\left(C D_{A B} \frac{d x_{A}}{d x}\right)+\frac{d}{d y}\!\left(C D_{A B} \frac{d x_{A}}{d y}\right)+\frac{d}{d z}\!\left(C D_{A B} \frac{d x_{A}}{d z}\right)=R_{A}.
O que o problema pede: deduzir o perfil de concentração (perfil de fração molar \,x_A(x)\,) e o fluxo molar da espécie A, para o caso unidimensional, em regime estacionário e sem reação homogênea.
Informações fornecidas e hipóteses que vou usar (tudo tirado/decidido a partir do enunciado, sem pedir informação extra):
  • Regime estacionário: não há dependência temporal.
  • Unidimensional: só variação com x, ou seja \partial/\partial y=\partial/\partial z=0.
  • Sem reação homogênea: \,R_A=0.
  • Vou assumir propriedades constantes ao longo do plano: C (concentração molar total) e D_{AB} constantes. Essa é a hipótese mais comum para exercícios desse tipo e simplifica a integração; se C ou D_{AB} dependessem de x teríamos que integrar de outra forma.
  • Precisarei de condições de contorno para fixar constantes de integração. Vou nomeá-las assim: em x=0 tem-se \,x_A(0)=x_{A1}\, e em x=L tem-se \,x_A(L)=x_{A2}. Esses dois valores representam as frações molares conhecidas nas superfícies do plano.
Resumo do objetivo prático: a partir da equação reduzi-la a uma ODE em x, integrar e aplicar as condições de contorno para obter x_A(x) e o fluxo molar de A.

Passo 2

Redução da equação para 1D e usar R_A=0.
Como é unidimensional ( \partial/\partial y=\partial/\partial z=0) e R_A=0, a equação tridimensional reduz-se a
\frac{d}{d x}\!\left(C D_{A B} \frac{d x_{A}}{d x}\right)=0.
Explicando a física dessa equação de forma simples: o termo \frac{d}{d x}\!\left(C D_{A B} \frac{d x_{A}}{d x}\right) é a divergência do fluxo difusivo (em molaridade), e igualá‑la a zero significa que, em regime estacionário e sem fontes/sumidouros, o fluxo difusivo é conservado ao longo de x — ou seja, é uma constante ao longo da direção x.

Passo 3

Integração uma vez: resultado e identificação com o fluxo difusivo.
Integrando a ODE obtida:
\frac{d}{d x}\!\left(C D_{A B} \frac{d x_{A}}{d x}\right)=0 \quad\Longrightarrow\quad C D_{A B} \frac{d x_{A}}{d x}=K,
onde K é uma constante de integração (independente de x).
Agora é útil relacionar isso com a Lei de Fick (forma simples): a lei de Fick para difusão molar (sem fluxo total) diz que o fluxo difusivo molar de A é proporcional ao gradiente de fração molar:
N_{A,d} = - C D_{A B} \frac{d x_{A}}{d x}.
Aqui:
  • N_{A,d} é o fluxo molar difusivo de A por unidade de área (unidades típicas: mol m^{-2} s^{-1}),
  • C é a concentração total molar (mol m^{-3}),
  • D_{AB} é o coeficiente de difusão binária (m^2 s^{-1}),
  • x_A é a fração molar de A.
Comparando com a constante K acima, obtemos
C D_{A B} \frac{d x_{A}}{d x}=K \quad\Longrightarrow\quad N_{A,d} = -K = \text{constante}.
Ou seja, o fluxo molar difusivo de A é constante ao longo da placa (confirmando a interpretação física).

Passo 4

Integração final para obter o perfil linear de fração molar e fixar a constante usando as condições de contorno.
A equação C D_{AB}\, \dfrac{d x_A}{dx} = K pode ser rearranjada e integrada:
\frac{d x_{A}}{d x} = \frac{K}{C D_{A B}}.
Integrando em x:
x_A(x) = \frac{K}{C D_{A B}}\, x + B,
onde B é outra constante de integração.
Aplicando as condições de contorno:
  • em x=0: x_A(0)=x_{A1} \Rightarrow x_{A1}=B.
  • em x=L: x_A(L)=x_{A2} \Rightarrow x_{A2}=\dfrac{K}{C D_{A B}}\,L + x_{A1}.
Da segunda condição obtemos K:
\frac{K}{C D_{A B}} = \frac{x_{A2}-x_{A1}}{L} \quad\Longrightarrow\quad K = \frac{C D_{A B}}{L}\,(x_{A2}-x_{A1}).
Substituindo em x_A(x) obtemos o perfil linear:
x_A(x)=x_{A1}+\frac{x_{A2}-x_{A1}}{L}\,x.
Esse é o perfil de fração molar: uma variação linear entre as superfícies x=0 e x=L, resultado clássico quando C e D_{AB} são constantes e não há reações.

Passo 5

Expressão explícita do fluxo molar de A e interpretação de sinal.
Lembrando que N_{A,d}=-K, substituímos K:
N_{A,d}=-\frac{C D_{A B}}{L}\,(x_{A2}-x_{A1}).
Podemos também escrever de forma que o sinal fique intuitivo:
N_{A,d}=\frac{C D_{A B}}{L}\,(x_{A1}-x_{A2}).
Interpretação: se x_{A1}>x_{A2} (mais A em x=0 do que em x=L), então N_{A,d}>0, ou seja há fluxo de A no sentido positivo de x (do lado 0 para L). A forma alternativa N_{A,d}=-C D_{AB}\, \dfrac{x_{A2}-x_{A1}}{L} deixa explícita a força motriz: gradiente de fração molar.

Passo 6

Observações práticas e casos relacionados (curta aula adicional e dicas para prova).
  • Quando escrever a equação diferencial, identificar rapidamente que, para R_A=0 e simetria 1D, o termo dentro da derivada é constante. Isso reduz muito o trabalho: uma integração basta para perceber que o fluxo é constante e uma segunda integração dá o perfil linear.
  • Se C ou D_{AB} não forem constantes, não se pode puxá‑los para fora; a integral fica:
\frac{d x_A}{d x} = \frac{K}{C(x) D_{AB}(x)}
e aí integra-se \,dx_A = K \, [C(x)D_{AB}(x)]^{-1} dx usando as funções dadas.
  • Se houver fluxo total \,N\neq 0 (ou seja, movimento de arraste do fluido), a forma geral do fluxo de A é
N_A = - C D_{AB} \frac{d x_A}{d x} + x_A N,
e então a análise muda um pouco porque x_A aparece multiplicando N. No entanto, para muitos exercícios de prova assume‑se N=0.
  • Em gases ideais, pode-se relacionar C com pressão e temperatura: C = \dfrac{P}{R T}. Assim o fluxo pode ser dado em termos de P, T se necessário.
Força‑motriz resumida: gradiente de fração molar; resultado típico: perfil linear e fluxo proporcional à diferença de frações molares dividida pela espessura.

Resposta

x_A(x)=x_{A1}+\dfrac{x_{A2}-x_{A1}}{L}\,x
N_{A,d}=\dfrac{C\,D_{AB}}{L}\,(x_{A1}-x_{A2})

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