Uma esfera de naftaleno está sujeita a sublimação em um ambiente estagnado e relativamente espaçoso a 72^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm . Retirou-se a esfera ao longo do tempo, pesando-a e medindo seu raio. Após 330 min , observou-se o seguinte comportamento
tempo (min) Massa (g) raio (cm)
0 2,44 0,85
10 2,43 0,85
23 2,42 0,85
43 2,41 0,85
73 2,39 0,84
125 2,36 0,84
150 2,35 0,84
190 2,31 0,83
240 2,28 0,83
295 2,23 0,82
330 2,21 0,82
Estime o valor do coeficiente de difusão do naftaleno no ar atmosférico \mathrm{em} \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}, considerando constante o diâmetro em 1,68 \mathrm{~cm}.
Dados:
\rho_{\text {naf }}=1,14 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3};
R=82,05\left(\mathrm{~atm} \cdot \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{mol} \cdot \mathrm{~K}\right) ;
\begin{aligned} & M_{\mathrm{naf}}=128,16 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} & \log P_{\mathrm{naf}}^{\mathrm{vap}}=10,56-3472 / T \end{aligned}
na qual T=[\mathrm{K}] e P^{\text {vap }}=[\mathrm{mmHg}]

Passo 1

O que o problema pede:
  • Estimar o valor do coeficiente de difusão do naftaleno no ar, em \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}, usando os dados experimentais fornecidos e considerando diâmetro constante de 1{,}68\\ \mathrm{cm}.
Informações fornecidas (peguei estes valores do enunciado):
  • Tabela de massa vs tempo (min): veja os pares (t, m) listados no enunciado; os extremos relevantes que vou usar são m(0)=2{,}44\\ \mathrm{g} e m(330)=2{,}21\\ \mathrm{g}.
  • Diâmetro constante: d=1{,}68\\ \mathrm{cm} (logo R=0{,}84\\ \mathrm{cm}).
  • Densidade do naftaleno: \rho_{\text{naf}}=1{,}14\\ \mathrm{g/cm}^3.
  • Constante dos gases (unidades compatíveis): R=82{,}05\\ \mathrm{atm\cdot cm^3/(mol\cdot K)}.
  • Massa molar do naftaleno: M_{\text{naf}}=128{,}16\\ \mathrm{g/mol}.
  • Equação para pressão de vapor do naftaleno (unidade: \mathrm{mmHg}): \log P_{\text{naf}}^{\text{vap}} = 10{,}56 - \frac{3472}{T},onde T está em \mathrm{K}.
  • Condições experimentais: T=72^\circ\mathrm{C} e P_{\text{amb}}=1\\ \mathrm{atm}.
O que vou calcular:
  • Uma expressão que relacione a taxa de perda de massa com D para uma esfera em meio estacionário.
  • Estimar a taxa média \mathrm{d}m/\mathrm{d}t a partir dos dados.
  • Calcular a concentração de vapor saturado na superfície c_s a partir da pressão de vapor.
  • Determinar D numericamente.

Passo 2

Modelo físico e equação de partida (explicação passo-a-passo, sem pular etapas).
Ideia física: o naftaleno sublima na superfície da esfera, formando vapor que difunde radialmente para o ar circundante praticamente em repouso (meio estagnado). Em regime estacionário (ou quasi-estacionário) e assumindo simetria esférica, a equação de difusão para a concentração molar c(r) (mol/cm^3) é a equação de Laplace radial:
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dc}{dr}\right)=0.
Esta equação significa que, no regime estacionário, o fluxo difusivo radial é função de r tal que não há acumulação local (estado quase constante).
Resolver essa equação é direto: integrar uma vez:
r^{2}\frac{dc}{dr}=A\quad\Rightarrow\quad \frac{dc}{dr}=\frac{A}{r^{2}},
onde A é constante de integração. Integrando novamente:
c(r)=-\frac{A}{r}+B,
com B outra constante.
Condições de contorno físicas:
  • Na superfície da esfera r=R: c(R)=c_s (concentração saturada correspondente à pressão de vapor do naftaleno).
  • No infinito r\to\infty: c(\infty)=c_\infty (concentração ambiente; normalmente c_\infty é muito pequena, podemos assumir c_\infty\approx0 se o ar está longe da saturação).
Aplicando esses contornos obtém-se
c(r)=c_\infty + (c_s-c_\infty)\frac{R}{r}.
O fluxo molar radial por área, de Fick, é
j_r(r)=-D\frac{dc}{dr}= -D\left(\frac{A}{r^{2}}\right).
Na superfície r=R a derivada dá A=(c_s-c_\infty)R, logo o fluxo por área na superfície é
j_r(R)= -D\frac{(c_s-c_\infty)R}{R^{2}} = -D\frac{(c_s-c_\infty)}{R}.
O sinal negativo indica saída de massa; a magnitude do fluxo é D(c_s-c_\infty)/R.
A taxa molar total que sai da esfera é o fluxo por área multiplicado pela área da superfície 4\pi R^{2}:
\dot{n} = 4\pi R^{2}\,j_r(R) = 4\pi R^{2}\left(-D\frac{(c_s-c_\infty)}{R}\right) = -4\pi D R (c_s-c_\infty).
Tomando a magnitude (taxa positiva de saída)
-\dot{n}=4\pi D R (c_s-c_\infty).
Convertendo para taxa de massa (g/s): -\dfrac{dm}{dt} = M\cdot (-\dot{n}) = 4\pi D R M (c_s-c_\infty).
Isolando D obtemos a fórmula prática que usarei:
D = \frac{-\dfrac{dm}{dt}}{4\pi R M (c_s-c_\infty)}.
Observações didáticas rápidas:
  • c é concentração molar ( \mathrm{mol/cm^3}).
  • M é massa molar ( \mathrm{g/mol}).
  • -dm/dt é a taxa de perda de massa em \mathrm{g/s} (usar o valor positivo na fórmula).
  • A expressão deriva de solução analítica da equação de difusão em coordenadas esféricas para regime estacionário; é uma solução clássica e utilizada em muitos problemas de sublimação/evaporação sem convecção significativa.

Passo 3

Estimativa da taxa média de perda de massa -\dfrac{dm}{dt} a partir dos dados (passo a passo, sem regressão complicada).
Vou aproximar a taxa média usando os extremos tempo t_0=0\\ \mathrm{min} e t_f=330\\ \mathrm{min}:
\Delta m = m(t_f)-m(t_0)=2{,}21-2{,}44=-0{,}23\\ \mathrm{g}.
Tempo total \Delta t = 330\\ \mathrm{min}=330\times60=19800\\ \mathrm{s}.
Taxa média (valor negativo porque massa decresce):
\frac{dm}{dt}\approx\frac{\Delta m}{\Delta t}=\frac{-0{,}23}{19800}= -1{,}1616\times 10^{-5}\\ \mathrm{g/s}.
Portanto a magnitude da taxa é
-\frac{dm}{dt}=1{,}1616\times 10^{-5}\\ \mathrm{g/s}.
Comentário: esta é uma média ao longo de todo o experimento; os dados mostram perda quase linear (raio praticamente constante), então essa aproximação é razoável para estimar a ordem de grandeza de D.

Passo 4

Cálculo da concentração saturada na superfície c_s a partir da pressão de vapor dada.
Temperatura:
T=72^\circ\mathrm{C}=72+273=345\\ \mathrm{K}.
Pressão de vapor (usar a fórmula, lembrando que \log é base 10 e a unidade resultante é \mathrm{mmHg}):
\log P_{\text{vap}} = 10{,}56 - \frac{3472}{T} = 10{,}56 - \frac{3472}{345}.
Calcule \dfrac{3472}{345}=10{,}063768\ldots, então
\log P_{\text{vap}}=10{,}56-10{,}063768=0{,}496232.
Assim
P_{\text{vap}}(\text{mmHg})=10^{0{,}496232}\approx 3{,}135\\ \mathrm{mmHg}.
Converter para atm:
P_{\text{vap}}(\text{atm})=\frac{3{,}135}{760}=0{,}004126\\ \mathrm{atm}.
Agora a concentração molar saturada usando a equação dos gases ideais c_s=\dfrac{P}{R T} com R nas unidades dadas:
c_s=\frac{P_{\text{vap}}(\text{atm})}{R\,T}=\frac{0{,}004126}{82{,}05\cdot 345}.
Calcule o denominador 82{,}05\times345=28307{,}25, portanto
c_s=\frac{0{,}004126}{28307{,}25}\approx 1{,}458\times 10^{-7}\\ \mathrm{mol/cm^{3}}.
Assumo c_\infty\approx 0 porque a concentração de vapor na vizinhança distante é pequena comparada a c_s (ou o ar é suficientemente não saturado). Se o ar estivesse com umidade parcial de naftaleno apreciável, seria preciso subtrair c_\infty.

Passo 5

Avaliação numérica do coeficiente de difusão D usando a fórmula derivada.
Relembrando a fórmula:
D=\frac{-\dfrac{dm}{dt}}{4\pi R M (c_s-c_\infty)}\approx\frac{-\dfrac{dm}{dt}}{4\pi R M c_s}.
Substituir os valores:
  • -\dfrac{dm}{dt}=1{,}1616\times 10^{-5}\\ \mathrm{g/s}.
  • M=128{,}16\\ \mathrm{g/mol}.
  • R\\ (\text{raio da esfera})=0{,}84\\ \mathrm{cm}.
  • c_s=1{,}458\times 10^{-7}\\ \mathrm{mol/cm^{3}}.
Primeiro obtenho a taxa molar de saída \dot{n} (mol/s) como \dot{n}=\dfrac{-dm/dt}{M}:
\dot{n}=\frac{1{,}1616\times 10^{-5}}{128{,}16}=9{,}064\times 10^{-8}\\ \mathrm{mol/s}.
Calculo do denominador 4\pi R c_s:
4\pi R c_s = 4\pi\times 0{,}84\times 1{,}458\times 10^{-7} \approx 1{,}539\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol/(cm\cdot s)}.
Finalmente,
D=\frac{\dot{n}}{4\pi R c_s}=\frac{9{,}064\times 10^{-8}}{1{,}539\times 10^{-6}}\approx 5{,}89\times 10^{-2}\\ \mathrm{cm^{2}/s}.
Arredondando com duas algarismos significativos:
D\approx 5{,}9\times 10^{-2}\\ \mathrm{cm^{2}/s}.

Passo 6

Verificação de consistência e notas (breves, para você ganhar confiança):
  • Ordem de grandeza: valores típicos de difusão de vapores orgânicos no ar estão na faixa 10^{-2} a 10^{-1}\\ \mathrm{cm^{2}/s}, então 5{,}9\times10^{-2}\\ \mathrm{cm^2/s} é razoável.
  • Principais aproximações feitas: (i) convecção natural desprezada (meio considerado estagnado); (ii) concentração ambiente c_\infty desprezada; (iii) uso da taxa média de perda de massa como constante. Se houver convecção significativa ou ar já parcialmente saturado, o valor verdadeiro de D seria diferente.
  • Se quiser, posso refinar a estimativa usando um ajuste linear (mínimos quadrados) dos dados de massa versus tempo em vez de usar só os extremos; isso muda pouco a ordem de grandeza, mas dá uma taxa média ligeiramente diferente.

Resposta

D \approx 5{,}9\times 10^{-2}\\ \mathrm{cm^{2}/s}

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