Uma esfera de naftaleno está sujeita a sublimação em um ambiente estagnado e relativamente espaçoso a
e 1 atm . Retirou-se a esfera ao longo do tempo, pesando-a e medindo seu raio. Após 330 min , observou-se o seguinte comportamento
tempo (min)
Massa (g)
raio (cm)
0
2,44
0,85
10
2,43
0,85
23
2,42
0,85
43
2,41
0,85
73
2,39
0,84
125
2,36
0,84
150
2,35
0,84
190
2,31
0,83
240
2,28
0,83
295
2,23
0,82
330
2,21
0,82
Estime o valor do coeficiente de difusão do naftaleno no ar atmosférico
, considerando constante o diâmetro em
.
Dados:
;
na qual
e
| tempo (min) | Massa (g) | raio (cm) |
| 0 | 2,44 | 0,85 |
| 10 | 2,43 | 0,85 |
| 23 | 2,42 | 0,85 |
| 43 | 2,41 | 0,85 |
| 73 | 2,39 | 0,84 |
| 125 | 2,36 | 0,84 |
| 150 | 2,35 | 0,84 |
| 190 | 2,31 | 0,83 |
| 240 | 2,28 | 0,83 |
| 295 | 2,23 | 0,82 |
| 330 | 2,21 | 0,82 |
Passo 1
O que o problema pede:
- Estimar o valor do coeficiente de difusão do naftaleno no ar, em
, usando os dados experimentais fornecidos e considerando diâmetro constante de .
Informações fornecidas (peguei estes valores do enunciado):
- Tabela de massa vs tempo (min): veja os pares
listados no enunciado; os extremos relevantes que vou usar são e . - Diâmetro constante:
(logo ). - Densidade do naftaleno:
. - Constante dos gases (unidades compatíveis):
. - Massa molar do naftaleno:
. - Equação para pressão de vapor do naftaleno (unidade:
): onde está em . - Condições experimentais:
e .
O que vou calcular:
- Uma expressão que relacione a taxa de perda de massa com
para uma esfera em meio estacionário. - Estimar a taxa média
a partir dos dados. - Calcular a concentração de vapor saturado na superfície
a partir da pressão de vapor. - Determinar
numericamente.
Passo 2
Modelo físico e equação de partida (explicação passo-a-passo, sem pular etapas).
Ideia física: o naftaleno sublima na superfície da esfera, formando vapor que difunde radialmente para o ar circundante praticamente em repouso (meio estagnado). Em regime estacionário (ou quasi-estacionário) e assumindo simetria esférica, a equação de difusão para a concentração molar
(mol/cm^3) é a equação de Laplace radial:
Esta equação significa que, no regime estacionário, o fluxo difusivo radial é função de
tal que não há acumulação local (estado quase constante).
Resolver essa equação é direto: integrar uma vez:
onde
é constante de integração. Integrando novamente:
com
outra constante.
Condições de contorno físicas:
- Na superfície da esfera
: (concentração saturada correspondente à pressão de vapor do naftaleno). - No infinito
: (concentração ambiente; normalmente é muito pequena, podemos assumir se o ar está longe da saturação).
Aplicando esses contornos obtém-se
O fluxo molar radial por área, de Fick, é
Na superfície
a derivada dá
, logo o fluxo por área na superfície é
O sinal negativo indica saída de massa; a magnitude do fluxo é
.
A taxa molar total que sai da esfera é o fluxo por área multiplicado pela área da superfície
:
Tomando a magnitude (taxa positiva de saída)
Convertendo para taxa de massa (g/s):
Isolando
obtemos a fórmula prática que usarei:
Observações didáticas rápidas:
-
é concentração molar ( ). -
é massa molar ( ). -
é a taxa de perda de massa em (usar o valor positivo na fórmula). - A expressão deriva de solução analítica da equação de difusão em coordenadas esféricas para regime estacionário; é uma solução clássica e utilizada em muitos problemas de sublimação/evaporação sem convecção significativa.
Passo 3
Estimativa da taxa média de perda de massa
a partir dos dados (passo a passo, sem regressão complicada).
Vou aproximar a taxa média usando os extremos tempo
e
:
Tempo total
Taxa média (valor negativo porque massa decresce):
Portanto a magnitude da taxa é
Comentário: esta é uma média ao longo de todo o experimento; os dados mostram perda quase linear (raio praticamente constante), então essa aproximação é razoável para estimar a ordem de grandeza de
.
Passo 4
Cálculo da concentração saturada na superfície
a partir da pressão de vapor dada.
Temperatura:
Pressão de vapor (usar a fórmula, lembrando que
é base
e a unidade resultante é
):
Calcule
, então
Assim
Converter para atm:
Agora a concentração molar saturada usando a equação dos gases ideais
com
nas unidades dadas:
Calcule o denominador
, portanto
Assumo
porque a concentração de vapor na vizinhança distante é pequena comparada a
(ou o ar é suficientemente não saturado). Se o ar estivesse com umidade parcial de naftaleno apreciável, seria preciso subtrair
.
Passo 5
Avaliação numérica do coeficiente de difusão
usando a fórmula derivada.
Relembrando a fórmula:
Substituir os valores:
-
. -
. -
. -
.
Primeiro obtenho a taxa molar de saída
(mol/s) como
:
Calculo do denominador
:
Finalmente,
Arredondando com duas algarismos significativos:
Passo 6
Verificação de consistência e notas (breves, para você ganhar confiança):
- Ordem de grandeza: valores típicos de difusão de vapores orgânicos no ar estão na faixa
a , então é razoável. - Principais aproximações feitas: (i) convecção natural desprezada (meio considerado estagnado); (ii) concentração ambiente
desprezada; (iii) uso da taxa média de perda de massa como constante. Se houver convecção significativa ou ar já parcialmente saturado, o valor verdadeiro de seria diferente. - Se quiser, posso refinar a estimativa usando um ajuste linear (mínimos quadrados) dos dados de massa versus tempo em vez de usar só os extremos; isso muda pouco a ordem de grandeza, mas dá uma taxa média ligeiramente diferente.