Consideremos o experimento de lançar um dado equilibrado.
  • Se o dado mostra 1 ou 6 , um número é selecionado do conjunto 0,5,6;
  • Se o dado mostra 2 ou 5 , um número é selecionado do conjunto 1,4,7;
  • Se o dado mostrar 3 ou 4 , um número é selecionado do conjunto 2,3.
    Definindo as Variáveis Aleatórias Discretas
    X : número selecionado.
Y=ll -1, & se X é primo e impar raizX, & se X tem raiz quadrada inteira X2, & Caso Contrário éá
Determine RX e a função de distribuição acumulada de X;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado trata de Probabilidade e Variáveis Aleatórias Discretas. Nele, temos um dado equilibrado que, dependendo do número que cai, seleciona um número de diferentes conjuntos. Precisamos determinar o Conjunto das Realizações de $ X $ ($ R_X $) e a Função de Distribuição Acumulada de $ X $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todos os possíveis valores que $ X $ pode assumir, ou seja, o conjunto $ R_X $. Para isso, analisamos cada resultado possível do lançamento do dado e os conjuntos correspondentes:
  • Dados 1 ou 6: selecionamos de $ {0, 5, 6} $
  • Dados 2 ou 5: selecionamos de $ {1, 4, 7} $
  • Dados 3 ou 4: selecionamos de $ {2, 3} $
Então, unindo todos esses conjuntos, temos:
X

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor em $ R_X $. Como o dado é equilibrado, cada face tem probabilidade igual de $ \frac{1}{6} $.
Vamos analisar cada grupo:
  1. Dados 1 ou 6:
    • Probabilidade de cair 1 ou 6: $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
    • Números possíveis: $ {0, 5, 6} $
    • Cada número tem probabilidade: $ \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} $
  2. Dados 2 ou 5:
    • Probabilidade de cair 2 ou 5: $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
    • Números possíveis: $ {1, 4, 7} $
    • Cada número tem probabilidade: $ \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} $
  3. Dados 3 ou 4:
    • Probabilidade de cair 3 ou 4: $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
    • Números possíveis: $ {2, 3} $
    • Cada número tem probabilidade: $ \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} $

Passo 4

Vamos resumir as probabilidades de cada elemento em $ R_X $:
RX

Passo 5

Com as probabilidades de cada valor definidos, podemos construir a Função de Distribuição Acumulada (FDA) de $ X $, que mostra a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um determinado valor.
Primeiro, organizamos os valores de $ X $ em ordem crescente:
X
Agora, calculamos a FDA somando as probabilidades acumuladas até cada valor:
X

Resposta

RX = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
A Função de Distribuição Acumulada de $ X $ é:
X

Exercícios relacionados