Consideremos o experimento de lançar um dado equilibrado.
Se o dado mostra 1 ou 6 , um número é selecionado do conjunto ;
Se o dado mostra 2 ou 5 , um número é selecionado do conjunto ;
Se o dado mostrar 3 ou 4 , um número é selecionado do conjunto .
Definindo as Variáveis Aleatórias Discretas : número selecionado.
Determine RX e a função de distribuição acumulada de X;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado trata de Probabilidade e Variáveis Aleatórias Discretas. Nele, temos um dado equilibrado que, dependendo do número que cai, seleciona um número de diferentes conjuntos. Precisamos determinar o Conjunto das Realizações de $ X $ ($ R_X $) e a Função de Distribuição Acumulada de $ X $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todos os possíveis valores que $ X $ pode assumir, ou seja, o conjunto $ R_X $. Para isso, analisamos cada resultado possível do lançamento do dado e os conjuntos correspondentes:
Dados 1 ou 6: selecionamos de $ {0, 5, 6} $
Dados 2 ou 5: selecionamos de $ {1, 4, 7} $
Dados 3 ou 4: selecionamos de $ {2, 3} $
Então, unindo todos esses conjuntos, temos:
X
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor em $ R_X $. Como o dado é equilibrado, cada face tem probabilidade igual de $ \frac{1}{6} $.
Vamos analisar cada grupo:
Dados 1 ou 6:
Probabilidade de cair 1 ou 6: $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
Números possíveis: $ {0, 5, 6} $
Cada número tem probabilidade: $ \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} $
Dados 2 ou 5:
Probabilidade de cair 2 ou 5: $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
Números possíveis: $ {1, 4, 7} $
Cada número tem probabilidade: $ \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} $
Dados 3 ou 4:
Probabilidade de cair 3 ou 4: $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
Números possíveis: $ {2, 3} $
Cada número tem probabilidade: $ \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} $
Passo 4
Vamos resumir as probabilidades de cada elemento em $ R_X $:
RX
Passo 5
Com as probabilidades de cada valor definidos, podemos construir a Função de Distribuição Acumulada (FDA) de $ X $, que mostra a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um determinado valor.
Primeiro, organizamos os valores de $ X $ em ordem crescente:
X
Agora, calculamos a FDA somando as probabilidades acumuladas até cada valor: