3 Consideremos o potencial eletrostático
Phi=cc V0 & z <=-d / 2 V0[1-2 (z+d / 2)^2d^2] & -d / 2 <= z<0 2 V0 (z-d / 2)^2d^2 & 0 <= z <= d / 2 0 & z>d / 2
em uma junção PN semicondutora, sem campo externo aplicado e onde a permissividade dielétrica vale varepsilon=varepsilonr varepsilon0, com varepsilonr=11.86.
a) Determine o campo elétrico E, o vetor densidade de fluxo D e o vetor polarização P nesse meio, e faça o gráfico de Phi e E;
b) Determine a densidade de cargas rho, faça o gráfico em função da distância z e determine a carga total para um cilindro de seção transversal A, delimitado na região dada por -d / 2 <= z <= d / 2.

Passo 1

O enunciado fornece o potencial eletrostático Phi(z) em quatro regiões de uma junção PN sem campo externo, com permissividade varepsilon=varepsilonrvarepsilon0 e varepsilonr=11,86. A tarefa é: determinar o campo elétrico E, o vetor densidade de fluxo D e o vetor polarização P, plotar Phi(z) e E(z); depois achar a densidade volumétrica de carga rho(z)=nablacdot D, plotar rho(z) e calcular a carga total num cilindro de área A entre -d/2 e +d/2. Vamos usar: E=-nablaPhi, D=varepsilon E, P= D-varepsilon0 E e a lei de Gauss diferencial rho=nablacdot D.

Passo 2

Para achar E(z), aplicamos Ez=-dPhi/dz. Nas regiões não constantes: - Para -d/2<= z<0:
$$\Phi=V_0\Bigl[1-2\frac{(z+d/2)2}{d2}\Bigr]\quad\Rightarrow\quad
\frac{d\Phi}{dz}=-4V_0\frac{(z+d/2)}{d^2} Phi=V0l[1-2(z+d/2)^2d^2r]Rightarrow dPhidz=-4V0(z+d/2)d^2E_z= -\frac{d\Phi}{dz}=+4V_0\frac{(z+d/2)}{d^2}~.$$
  • Para Ez= -dPhidz=+4V0(z+d/2)d^2:
$$\Phi=2V_0\frac{(z-d/2)2}{d2}\quad\Rightarrow\quad
\frac{d\Phi}{dz}=4V_0\frac{(z-d/2)}{d^2} 0<= z<= d/2E_z=-\frac{d\Phi}{dz}=-4V_0\frac{(z-d/2)}{d^2}~.$$
Nas outras duas regiões Phi=2V0(z-d/2)^2d^2Rightarrow dPhidz=4V0(z-d/2)d^2.

Passo 3

Com D=varepsilon Ez,hat k e P= D-varepsilon0Ez,hat k=varepsilon0(varepsilonr-1)Ez,hat k, temos nas mesmas faixas de z:
$$
D_z=\varepsilon,E_z=\varepsilon\times Dz=varepsilon,Ez=varepsilontimes0,&|z|>d/24V0dfrac(z+d/2)d^2,&-d/2<= z<0-4V0dfrac(z-d/2)d^2,&0<= z<= d/2,$$
$$
P_z=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)E_z=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\times(mesma expressão de Pz=varepsilon0(varepsilonr-1)Ez=varepsilon0(varepsilonr-1)times(mesma expressão de $Ez$))~.$$

Passo 4

O gráfico de Phi(z) é: constante V0 para z<-d/2, uma parábola invertida entre -d/2,0, outra parábola direita entre 0,d/2 e zero para z>d/2. O gráfico de E(z) é nulo fora de [-d/2,d/2] e cresce linearmente de zero até 4V0/d em z=0^-, depois decresce linearmente de 4V0/d até zero em z=d/2, com mudança de sinal.

Passo 5

Para a densidade de cargas usamos rho=nablacdot D= dDz/dz. Como varepsilon é constante, basta derivar Ez:
rho(z)=varepsilondEzdz=varepsilontimes0,&|z|>d/24V0/d^2,&-d/2
É um bloco positivo na região [-d/2,0] e negativo simétrico em [0,d/2].

Passo 6

A carga total no cilindro é
Q= Aintegral-d/2^d/2rho(z),dz = A,varepsilonl(4V0d^2d2+l(-4V0d^2r)d2r)=0,
ou, usando Gauss integral, Q=A[Dz(d/2)-Dz(-d/2)]=0.

Resposta

Campo elétrico (sentido hat k):
Ez(z)=0,&z<= -tfrac d2 4V0dfrac(z+d/2)d^2,&-tfrac d2= tfrac d2,
Densidade de fluxo:
Dz(z)=varepsilon,Ez(z)
Polarização:
Pz(z)=varepsilon0(varepsilonr-1),Ez(z)
Densidade de carga:
rho(z)=0,&|z|>d/2 4varepsilon V0/d^2,&-d/2
Carga total no cilindro de área A entre -d/2,z,d/2:
Q=0

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