1 Deduza a relação de Einstein para o coeficiente de difusão D expresso em termos da mobilidade mu em um gás de partículas de carga q com densidade n. Dica: considere a corrente de difusão e de deriva na condição de equilíbrio do gás.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a relação de Einstein que conecta o coeficiente de difusão D e a mobilidade elétrica mu num gás de partículas de carga q e densidade n. Vamos usar os conceitos de corrente de difusão, corrente de deriva e a condição de equilíbrio térmico, além da distribuição de Boltzmann para a densidade das partículas.

Passo 2

Num meio carregado em presença de campo elétrico E, temos duas correntes principais:
  1. Corrente de difusão, que aparece se existe gradiente de densidade:
    Jdiff = -D,nabla n
    2. Corrente de deriva, que vem da ação do campo elétrico sobre as cargas:
    Jdrv = n,q,mu,E
Em equilíbrio não há fluxo líquido de partículas, então
Jtot = Jdiff + Jdrv = 0

Passo 3

Em equilíbrio térmico, a densidade segue a distribuição de Boltzmann em um potencial elétrico phi:
n(r) propto e^-qphi(r)kB T
Dessa forma,
nabla n = -qkB T,n,nablaphi
Como o campo elétrico é E = -nablaphi, obtemos
E = kB Tq,n,nabla n

Passo 4

Substituindo essa expressão de E na corrente de deriva:
Jdrv = n,q,mu,E = n,q,mu(kB Tq,n,nabla n) = mu,kB T,nabla n
Agora, impondo Jtot=0:
-D,nabla n + mu,kB T,nabla n = 0 Longrightarrow D = mu,kB T

Passo 5

Pronto! Chegamos à famosa relação de Einstein entre o coeficiente de difusão e a mobilidade.

Resposta

D = mu,kB T

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