1 Deduza a relação de Einstein para o coeficiente de difusão
expresso em termos da mobilidade
em um gás de partículas de carga
com densidade
. Dica: considere a corrente de difusão e de deriva na condição de equilíbrio do gás.
Passo 1
O enunciado pede para deduzir a relação de Einstein que conecta o coeficiente de difusão
e a mobilidade elétrica
num gás de partículas de carga
e densidade
. Vamos usar os conceitos de corrente de difusão, corrente de deriva e a condição de equilíbrio térmico, além da distribuição de Boltzmann para a densidade das partículas.
Passo 2
Num meio carregado em presença de campo elétrico
, temos duas correntes principais:
-
Corrente de difusão, que aparece se existe gradiente de densidade:
2. Corrente de deriva, que vem da ação do campo elétrico sobre as cargas:
Em equilíbrio não há fluxo líquido de partículas, então
Passo 3
Em equilíbrio térmico, a densidade segue a distribuição de Boltzmann em um potencial elétrico
:
Dessa forma,
Como o campo elétrico é
, obtemos
Passo 4
Substituindo essa expressão de
na corrente de deriva:
Agora, impondo
:
Passo 5
Pronto! Chegamos à famosa relação de Einstein entre o coeficiente de difusão e a mobilidade.