Consideremos o produto interno usual em \mathbb{R}^{3}. Dados os vetores u=(1,2,-1) e v=(2,3,1), calcular:
\|u-v\|

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(1,2,-1) e v=(2,3,1) em \mathbb{R}^3 e pede para calcular a norma de u-v, ou seja, \|u-v\|.
Lista dos dados: u=(1,2,-1), v=(2,3,1).
Pergunta: encontrar \|u-v\|.

Passo 2

Vamos revisar os conceitos que precisamos (bem mastigadinhos).
  • Produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^3: para dois vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
\langle a,b\rangle = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
Aqui cada a_i e b_i é a respectiva componente dos vetores. Esse produto dá um número real.
  • Norma (comprimento) de um vetor w em \mathbb{R}^3: é a raiz quadrada do produto interno de w por si mesmo,
\|w\| = \sqrt{\langle w,w\rangle} = \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + w_3^2}.
Ou seja, para achar a norma, somamos os quadrados das componentes e tiramos a raiz quadrada. Isso é exatamente a extensão do teorema de Pitágoras para 3 dimensões.

Passo 3

Primeiro calculamos o vetor diferença u-v componente a componente:
u-v = (1-2,\;2-3,\;-1-1).
Fazendo as contas em cada componente:
u-v = (-1,\;-1,\;-2).

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da norma: \|u-v\| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2}. Calculando cada quadrado:
(-1)^2 = 1,\qquad (-1)^2 = 1,\qquad (-2)^2 = 4.
Somando:
\langle u-v,\,u-v\rangle = 1 + 1 + 4 = 6.

Passo 5

Tiramos a raiz quadrada para obter a norma:
\|u-v\| = \sqrt{6}.
Isso significa que a distância entre u e v no espaço euclidiano \mathbb{R}^3 é \sqrt{6}. Força aí — a conta foi rápida e é exatamente o tipo de coisa que cai direto na prova.

Resposta

\sqrt{6}

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