Considere u=\left[\begin{array}{ll}a_{1} & b_{1} \\\ c_{1} & d_{1}\end{array}\right] e o produto interno \langle u, v\rangle=2 a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2}+3 d_{1} d_{2}. Para u=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ -1 & 1\end{array}\right] e v=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] calcule:
\langle u, v\rangle

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o produto interno entre duas matrizes u e v usando a fórmula dada. Informações fornecidas:
u=\begin{pmatrix}a_{1} & b_{1} \\\ c_{1} & d_{1}\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}a_{2} & b_{2} \\\ c_{2} & d_{2}\end{pmatrix}
\langle u,v\rangle = 2a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+3d_{1}d_{2}
e os valores concretos
u=\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.

Passo 2

Vou extrair cada componente das matrizes para usar na fórmula. Peguei esses dados do próprio enunciado.
a_{1}=1,\quad b_{1}=2,\quad c_{1}=-1,\quad d_{1}=1,
a_{2}=0,\quad b_{2}=2,\quad c_{2}=1,\quad d_{2}=1.

Passo 3

Rápida explicação do que a fórmula faz: \langle u,v\rangle é um produto interno que combina cada entrada correspondente de u e v, multiplicando-as e somando com pesos diferentes. Aqui os pesos são 2 para o produto a_{1}a_{2}, 1 para b_{1}b_{2}, 1 para c_{1}c_{2} e 3 para d_{1}d_{2}. Em termos simples, é um “produto escalar ponderado” entre as entradas das matrizes.

Passo 4

Agora substituo os valores na fórmula e calculo cada termo separadamente:
2a_{1}a_{2}=2\cdot 1\cdot 0=0,
b_{1}b_{2}=2\cdot 2=4,
c_{1}c_{2}=(-1)\cdot 1=-1,
3d_{1}d_{2}=3\cdot 1\cdot 1=3.

Passo 5

Somando os termos que calculei:
\langle u,v\rangle = 0 + 4 + (-1) + 3 = 6.
Você conseguiu! Foi só seguir substituindo e somando cada pedacinho.

Resposta

6

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