Consideremos o produto interno usual em
. Dados os vetores
e
, calcular:
O ângulo entre
e
O ângulo entre
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o ângulo entre os vetores
e
.
Informações dadas:
Passo 2
Definição importante (aqui aprendo contigo): o produto interno usual em
entre dois vetores
e
é dado por
Cada termo é o produto das componentes correspondentes e somamos tudo. Vou aplicar isso a
e
.
Calculemos o produto interno:
Passo 3
Outra definição usada no cálculo do ângulo: a norma (comprimento) de um vetor
é
Isso vem do teorema de Pitágoras em dimensões superiores: soma dos quadrados das componentes e raiz.
Calculemos
e
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Fórmula-chave para o ângulo: o cosseno do ângulo
entre dois vetores satisfaz
Aqui
é o produto interno (já calculado) e
são as normas (já calculadas). Substituindo:
Podemos simplificar o denominador:
logo
Observação rápida de interpretação: como
(pois
), o ângulo é agudo (menor que
) — isso é um bom checagem de coerência.
Passo 5
Para obter
isolamos usando a função arco cosseno:
Em prova, muitas vezes essa forma exata já é aceita; se pedirem valor numérico, calculamos uma aproximação.
Aproximação numérica:
então
Convertendo para graus (multiplicando por
):
Passo 6
Resumo prático para a prova (dica amiga): sempre faça nesta ordem — (i) calcule
, (ii) calcule
e
, (iii) use
, (iv) aplique
se preciso. Se o produto interno der positivo, o ângulo será agudo; se negativo, será obtuso. Isso te ajuda a checar erros rápidos.