Consideremos o produto interno usual em \mathbb{R}^{3}. Dados os vetores u=(1,2,-1) e v=(2,3,1), calcular:
O ângulo entre u e v

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o ângulo entre os vetores u e v.
Informações dadas:
u=(1,2,-1),\qquad v=(2,3,1).

Passo 2

Definição importante (aqui aprendo contigo): o produto interno usual em \mathbb{R}^3 entre dois vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) é dado por
\langle a,b\rangle = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
Cada termo é o produto das componentes correspondentes e somamos tudo. Vou aplicar isso a u e v.
Calculemos o produto interno:
\langle u,v\rangle = 1\cdot 2 + 2\cdot 3 + (-1)\cdot 1 = 2 + 6 - 1 = 7.

Passo 3

Outra definição usada no cálculo do ângulo: a norma (comprimento) de um vetor a=(a_1,a_2,a_3) é
\|a\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}.
Isso vem do teorema de Pitágoras em dimensões superiores: soma dos quadrados das componentes e raiz.
Calculemos \|u\| e \|v\|:
Para u:
\|u\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}.
Para v:
\|v\| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}.

Passo 4

Fórmula-chave para o ângulo: o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores satisfaz
\cos\theta = \frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}.
Aqui \langle u,v\rangle é o produto interno (já calculado) e \|u\|,\|v\| são as normas (já calculadas). Substituindo:
\cos\theta = \frac{7}{\sqrt{6}\,\sqrt{14}}.
Podemos simplificar o denominador:
\sqrt{6}\,\sqrt{14}=\sqrt{84}=\sqrt{4\cdot 21}=2\sqrt{21},
logo
\cos\theta = \frac{7}{2\sqrt{21}}.
Observação rápida de interpretação: como \cos\theta>0 (pois 7/(2\sqrt{21})>0), o ângulo é agudo (menor que 90^\circ) — isso é um bom checagem de coerência.

Passo 5

Para obter \theta isolamos usando a função arco cosseno:
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{7}{2\sqrt{21}}\right).
Em prova, muitas vezes essa forma exata já é aceita; se pedirem valor numérico, calculamos uma aproximação.
Aproximação numérica:
\frac{7}{2\sqrt{21}}\approx 0{,}7637626,
então
\theta \approx \operatorname{arccos}(0{,}7637626)\approx 0{,}7017\\ \text{rad}.
Convertendo para graus (multiplicando por 180/\pi):
\theta \approx 40{,}20^\circ.

Passo 6

Resumo prático para a prova (dica amiga): sempre faça nesta ordem — (i) calcule \langle u,v\rangle, (ii) calcule \|u\| e \|v\|, (iii) use \cos\theta=\langle u,v\rangle/(\|u\|\|v\|), (iv) aplique \operatorname{arccos} se preciso. Se o produto interno der positivo, o ângulo será agudo; se negativo, será obtuso. Isso te ajuda a checar erros rápidos.

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{7}{2\sqrt{21}}\right) \approx 0{,}7017\\ \text{rad} = 40{,}20^\circ

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