Consideremos, no R R^3. o produto interno usual. Para que valores de m os vetores u e v são ortogonais?
a) u=(3 m, 2 -m) e v=(-4,1,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está em um espaço tridimensional, , e usa o produto interno padrão. A gente precisa descobrir para quais valores de os vetores e são ortogonais. Vetores são ortogonais quando o produto interno entre eles é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto interno de dois vetores. Se temos u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 e , o produto interno é:
Então, para os nossos vetores e , vamos aplicar essa fórmula.

Passo 3

Vamos substituir os componentes dos vetores na fórmula:
u cdot v = (3m)(-4) + (2)(1) + (-m)(5)
Simplificando cada termo:
u cdot v = -12m + 2 -5m

Passo 4

Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
-12m -5m + 2 = -17m + 2
Para que os vetores sejam ortogonais, o produto interno deve ser igual a zero:
-17m + 2 = 0

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de -17m + 2 = 0 -17m = -2 m = -2-17 m = 217 :

Resposta

Para , os vetores e são ortogonais.

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