Consideremos uma reação de primeira ordem, cuja constante de velocidade a 60^{\circ} \mathrm{C} é igual a 200 \mathrm{~mol}^{-1} . \mathrm{L} . \mathrm{s}^{-1}. A energia de ativação é igual a 30 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}.
a) Qual é o valor da constante de velocidade de reação a 80^{\circ} \mathrm{C} ?
b) A que temperatura podemos observar o dobro desta velocidade?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo com os valores exatos fornecidos):
  • Constante de velocidade à 60^\circ\mathrm{C}: k(60^\circ\mathrm{C}) = 200\\ \mathrm{mol}^{-1}\!\cdot\!\mathrm{L}\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1} (valor fornecido; mantemos a unidade dada).
  • Energia de ativação: E_a = 30\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}.
    As perguntas são:
    (a) Qual é o valor de k a 80^\circ\mathrm{C}?
    (b) A que temperatura (em ^{\circ}\mathrm{C}) a constante de velocidade vale o dobro do valor em 60^\circ\mathrm{C}, isto é, quando k = 2\,k(60^\circ\mathrm{C})?

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
A dependência da constante de velocidade com a temperatura para muitas reações é dada pela equação de Arrhenius. A forma conveniente para comparar duas temperaturas é a relação entre constantes:
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = -\frac{E_a}{R}\!\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right),
onde:
  • k_1 é a constante a uma temperatura T_1 (em kelvin);
  • k_2 é a constante a uma temperatura T_2 (em kelvin);
  • E_a é a energia de ativação (em joules por mol, \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1});
  • R é a constante dos gases, R = 8{,}314\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{K}^{-1};
  • \ln é o logaritmo natural.
    Essa fórmula vem de dividir duas expressões de Arrhenius k=A\mathrm{e}^{-E_a/(RT)} e tomar o logaritmo natural. É útil porque cancela a pré-exponencial A, que normalmente é desconhecida.

Passo 3

Conversões e preparação de dados (muito importante fazer certinho):
  • Converter E_a para \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}:
E_a = 30\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1} = 30{,}000\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Converter temperaturas para kelvin:
T_1 = 60^\circ\mathrm{C} = 60 + 273{,}15 = 333{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = 80^\circ\mathrm{C} = 80 + 273{,}15 = 353{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Valor de R:
R = 8{,}314\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{K}^{-1}.

Passo 4

Aplicando a fórmula para encontrar k(80^\circ\mathrm{C}) (parte a). Primeiro escrevemos a relação com k_1=k(60^\circ\mathrm{C}) e k_2=k(80^\circ\mathrm{C}):
\ln\!\left(\frac{k(80^\circ\mathrm{C})}{k(60^\circ\mathrm{C})}\right) = -\frac{E_a}{R}\!\left(\frac{1}{353{,}15}-\frac{1}{333{,}15}\right).
Calculamos o termo de temperatura:
\frac{1}{353{,}15}-\frac{1}{333{,}15} = \frac{333{,}15-353{,}15}{333{,}15\cdot353{,}15} = \frac{-20}{333{,}15\cdot353{,}15}.
Agora o produto dos denominadores:
333{,}15\cdot353{,}15 \approx 117651{,}92
(portanto)
\frac{1}{353{,}15}-\frac{1}{333{,}15}\approx -\;1{,}7000\times10^{-4}\\ \mathrm{K}^{-1}.

Passo 5

Continuando os cálculos numéricos para (a):
Calculemos o fator \dfrac{E_a}{R}:
\frac{E_a}{R}=\frac{30000}{8{,}314}\approx 3608\\ \mathrm{K}.
Multiplicando:
-\frac{E_a}{R}\!\left(\frac{1}{353{,}15}-\frac{1}{333{,}15}\right) \approx -3608\cdot\left(-1{,}7000\times10^{-4}\right) \approx 0{,}613.
Logo
\ln\!\left(\frac{k(80^\circ\mathrm{C})}{k(60^\circ\mathrm{C})}\right)\approx 0{,}613, \quad\text{ou}\quad \frac{k(80^\circ\mathrm{C})}{k(60^\circ\mathrm{C})}\approx e^{0{,}613}\approx 1{,}846.
Finalmente, usando k(60^\circ\mathrm{C})=200:
k(80^\circ\mathrm{C}) \approx 200\cdot 1{,}846 \approx 369{,}2\\ \mathrm{s}^{-1}.
(maintém-se a unidade indicada no enunciado; tradicionalmente para reação de primeira ordem seria \mathrm{s}^{-1}.)

Passo 6

Interpretação curta do resultado (motivação rápida):
A constante aumentou de 200 para cerca de 369: um aquecimento de 20^\circ\mathrm{C} aumentou a velocidade por fator \approx 1{,}846. Isso é razoável para uma energia de ativação de 30\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 7

Parte (b): temperatura em que a velocidade dobra ( k_2 = 2\,k_1).
A partir da mesma fórmula de Arrhenius:
\ln 2 = -\frac{E_a}{R}\!\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_1}\right),
onde T_1=333{,}15\\ \mathrm{K} e T é a temperatura desejada em kelvin. Isolando 1/T:
\frac{1}{T} = \frac{1}{T_1} - \frac{R}{E_a}\ln 2.
Calculamos o termo \dfrac{R}{E_a}\ln 2:
\frac{R}{E_a}\ln 2 = \frac{8{,}314}{30000}\cdot 0{,}693147\approx 1{,}921\times10^{-4}\\ \mathrm{K}^{-1}.
Usando \dfrac{1}{T_1} \approx 0{,}00300165\\ \mathrm{K}^{-1} (pois T_1=333{,}15\\ \mathrm{K}),
\frac{1}{T} \approx 0{,}00300165 - 0{,}00019212 \approx 0{,}00280953\\ \mathrm{K}^{-1}.
Logo
T \approx \frac{1}{0{,}00280953} \approx 355{,}93\\ \mathrm{K}.
Convertendo para graus Celsius:
T \approx 355{,}93 - 273{,}15 = 82{,}78^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Resumo e ânimo final: obtivemos os valores pedidos com todo o passo a passo (conversões, uso da equação de Arrhenius e manipulações algébricas). Força aí — com esse método dá para resolver qualquer variação de k com temperatura quando E_a é conhecida!

Resposta

k(80^\circ\mathrm{C}) \approx 3{,}69\times10^{2}\\ \mathrm{s}^{-1}
Temperatura para o dobro da velocidade: T \approx 82{,}8^\circ\mathrm{C}

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