Consideremos a transformação linear
definida por
. Determine a matriz de
com relação as seguintes bases
do
e
do
.
base do
e
base do
.
Passo 1
O enunciado pede a matriz da transformação linear
dada por
em relação à base
de
e à base
de
, onde
e
As perguntas implícitas são:
Lista das informações relevantes do enunciado:
Passo 2
Como construir a matriz de
relativa às bases
e
: a
-ésima coluna de
é o vetor de coordenadas de
expresso na base
. Ou seja, para cada
devemos:
- calcular
em coordenadas canônicas (padrão) em ; - escrever
como combinação linear de e ,
e então a coluna
será
.
Vou aplicar esse procedimento para cada . (Se preferir, isso equivale a resolver um sistema
.)]
Vou aplicar esse procedimento para cada
Passo 3
Calcular
com
. Substituindo na fórmula de
:
Passo 4
Expressar
Igualando coordenadas obtemos o sistema
Somando as equações:
.]
Passo 5
Portanto a coordenada de
na base
é
Essa será a primeira coluna de
.]
Passo 6
Calcular
com
. Substituindo:
Passo 7
Expressar
Obtemos o sistema
Somando:
.]
Passo 8
Então a coordenada de
em
é
que será a segunda coluna da matriz procurada.]
Passo 9
Calcular
com
. Substituindo:
Passo 10
Expressar
Sistema:
Somando:
.]
Passo 11
A coordenada de
em
é
que será a terceira coluna da matriz desejada.]
Passo 12
Montando as colunas encontradas, a matriz de
relativa às bases
(domínio) e
(contradomínio) é a matriz
cujas colunas são
,
e
.]