Consideremos a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T(x, y, z)=(2 x+y-z, x+2 y). Determine a matriz de T com relação as seguintes bases B do \mathbb{R}^{3} e C do \mathbb{R}^{2}.
B=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) base do \mathbb{R}^{3} e C=\{(1,1),(-1,1)\} base do \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a matriz da transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} dada por
T(x,y,z)=(2x+y-z,\;x+2y)
em relação à base B de \mathbb{R}^{3} e à base C de \mathbb{R}^{2}, onde
B=\big((1,1,1),\;(1,1,0),\;(1,0,0)\big)
e
C=\{(1,1),\;(-1,1)\}.
As perguntas implícitas são:
\text{Qual é a matriz }[T]_{C\leftarrow B} \text{ que representa }T\text{ quando vetores em } \mathbb{R}^3 \text{ estão em coordenadas em }B\text{ e as imagens em coordenadas em }C\;?éã
Lista das informações relevantes do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Fórmula de }T:\;T(x,y,z)=(2x+y-z,\;x+2y),\\\ &B\text{ é formada pelos vetores }b_1=(1,1,1),\;b_2=(1,1,0),\;b_3=(1,0,0),\\\ &C\text{ é formada pelos vetores }c_1=(1,1),\;c_2=(-1,1). \end{aligned}óéé

Passo 2

Como construir a matriz de T relativa às bases B e C: a j-ésima coluna de [T]_{C\leftarrow B} é o vetor de coordenadas de T(b_j) expresso na base C. Ou seja, para cada j=1,2,3 devemos:
  1. calcular T(b_j) em coordenadas canônicas (padrão) em \mathbb{R}^2;
  2. escrever T(b_j) como combinação linear de c_1 e c_2,
T(b_j)=\alpha_j c_1+\beta_j c_2,
e então a coluna j será \begin{pmatrix}\alpha_j\\[4pt]\beta_j\end{pmatrix}.
Vou aplicar esse procedimento para cada b_j. (Se preferir, isso equivale a resolver um sistema [c_1\; c_2]\begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix}=T(b_j).)]

Passo 3

Calcular T(b_1) com b_1=(1,1,1). Substituindo na fórmula de T:
T(1,1,1)=(2\cdot1+1-1,\;1+2\cdot1)=(2,\;3).

Passo 4

Expressar (2,3)\) como combinação de \(c_1=(1,1)\) e \(c_2=(-1,1)\). Escrevemos \[(2,3)=\alpha(1,1)+\beta(-1,1)=(\alpha-\beta,\;\alpha+\beta).
Igualando coordenadas obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha-\beta=2,\\[4pt] \alpha+\beta=3. \end{cases}
Somando as equações: 2\alpha=5\Rightarrow \alpha=\tfrac{5}{2}\]. Então \(\beta=\alpha-2=\tfrac{5}{2}-2=\tfrac{1}{2}.]

Passo 5

Portanto a coordenada de T(b_1) na base C é
\begin{pmatrix}\alpha_1\\[4pt]\beta_1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{5}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Essa será a primeira coluna de [T]_{C\leftarrow B}.]

Passo 6

Calcular T(b_2) com b_2=(1,1,0). Substituindo:
T(1,1,0)=(2\cdot1+1-0,\;1+2\cdot1)=(3,\;3).

Passo 7

Expressar (3,3)\) como combinação de \(c_1\) e \(c_2\): \[(3,3)=\alpha(1,1)+\beta(-1,1)=(\alpha-\beta,\;\alpha+\beta).
Obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha-\beta=3,\\[4pt] \alpha+\beta=3. \end{cases}
Somando: 2\alpha=6\Rightarrow \alpha=3\]. Logo \(\beta=\alpha-3=0.]

Passo 8

Então a coordenada de T(b_2) em C é
\begin{pmatrix}\alpha_2\\[4pt]\beta_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix},
que será a segunda coluna da matriz procurada.]

Passo 9

Calcular T(b_3) com b_3=(1,0,0). Substituindo:
T(1,0,0)=(2\cdot1+0-0,\;1+2\cdot0)=(2,\;1).

Passo 10

Expressar (2,1)\) como combinação de \(c_1\) e \(c_2\): \[(2,1)=\alpha(1,1)+\beta(-1,1)=(\alpha-\beta,\;\alpha+\beta).
Sistema:
\begin{cases} \alpha-\beta=2,\\[4pt] \alpha+\beta=1. \end{cases}
Somando: 2\alpha=3\Rightarrow \alpha=\tfrac{3}{2}\]. Então \(\beta=\alpha-2=\tfrac{3}{2}-2=-\tfrac{1}{2}.]

Passo 11

A coordenada de T(b_3) em C é
\begin{pmatrix}\alpha_3\\[4pt]\beta_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix},
que será a terceira coluna da matriz desejada.]

Passo 12

Montando as colunas encontradas, a matriz de T relativa às bases B (domínio) e C (contradomínio) é a matriz 2\times3 cujas colunas são \begin{pmatrix}\tfrac{5}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Resposta

[T]_{C\leftarrow B}=\begin{pmatrix} \tfrac{5}{2} & 3 & \tfrac{3}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & 0 & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}]

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