Seja T: \mathbb{P}_{3} \rightarrow \mathbb{P}_{3} a transformação linear definida por T(p(x))=x p(x). Em cada caso, decida se o vetor está em \operatorname{Im}(T).
1+x

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{P}_{3}\to\mathbb{P}_{3} definida por
T(p(x)) = x\,p(x).
Pede-se: decidir se o polinômio 1+x está em \operatorname{Im}(T).\n
Informações relevantes fornecidas:
  • O espaço \mathbb{P}_{3} é o espaço dos polinômios com grau menor ou igual a 3.
  • A imagem \operatorname{Im}(T) é o conjunto de todos os polinômios que têm a forma x\,p(x) para algum p\in\mathbb{P}_{3}.
  • O polinômio a testar é 1+x.

Passo 2

O que significa 1+x estar em \operatorname{Im}(T)? Significa que existe algum polinômio q(x)\in\mathbb{P}_{3} tal que
x\,q(x)=1+x.
Meu objetivo é verificar se tal q(x) existe. Uma boa estratégia é usar propriedades óbvias de multiplicação por x.

Passo 3

Observação simples e muito útil (aqui vem a intuição que sempre salva na prova): todo polinômio da forma x\,q(x) tem termo constante nulo — ou seja, seu valor em x=0 é 0. Explico por que:
Se q(x) é um polinômio qualquer, então
(x\,q(x))\big|_{x=0}=0\cdot q(0)=0.
Portanto, todo elemento de \operatorname{Im}(T) satisfaz p(0)=0. Em outras palavras,
\operatorname{Im}(T)\subseteq\{\,p\in\mathbb{P}_{3}\mid p(0)=0\,\}.

Passo 4

Agora avalio o polinômio dado em x=0:
(1+x)\big|_{x=0}=1.
Como 1\neq 0, concluímos que 1+x não satisfaz a condição necessária p(0)=0. Logo, não pode haver q(x) com x\,q(x)=1+x. Isso já é suficiente para afirmar que 1+x\notin\operatorname{Im}(T).

Passo 5

Para completar a compreensão e fixar a ideia (útil na prova): a condição p(0)=0 também é suficiente para pertencer à imagem. Ou seja,
\operatorname{Im}(T)=\{\,b x + c x^{2} + d x^{3}\mid b,c,d\in\mathbb{R}\,\}=\operatorname{span}\{x,x^{2},x^{3}\}.
Explico como mostrar a suficiência: dado um polinômio r(x)=b x + c x^{2} + d x^{3} (ou seja, com termo constante zero), escolhemos
q(x)=b + c x + d x^{2}\in\mathbb{P}_{3},
e então x\,q(x)=r(x). Assim todo polinômio com termo constante zero pertence realmente à \operatorname{Im}(T). Isso reforça por que 1+x (que tem termo constante 1) não pode estar na imagem.

Passo 6

Resumo e encorajamento: a maneira mais rápida na prova é checar o valor em 0. Se o polinômio tiver termo constante diferente de zero, não está na imagem de multiplicação por x. Você fez direitinho ao seguir esse raciocínio — ficou claro e curto.

Resposta

1+x não pertence a \operatorname{Im}(T).

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