(2,0) Sejam A \in M_{m \times n} e S=\left\{v \in M_{n \times 1} \mid A \cdot v=0_{n \times 1}\right\}. Mostre que se u, v \in S então u+v \in S.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Temos uma matriz A \in M_{m \times n}.
  • Foi definido o conjunto S por
S = \{\,v \in M_{n \times 1} \mid A\cdot v = 0_{m \times 1}\,\}.
  • A pergunta: mostrar que se u e v pertencem a S então u+v também pertence a S. Em outras palavras, provar que
\text{se } u\in S \text{ e } v\in S \text{ então } u+v\in S.ã

Passo 2

Vamos fixar o que cada símbolo significa (de forma bem pé no chão):
  • M_{m\times n} é o conjunto das matrizes com m linhas e n colunas.
  • M_{n\times 1} são vetores coluna com n entradas (podemos pensar neles como vetores em \mathbb{R}^n).
  • 0_{m\times 1} é o vetor nulo com m entradas (todas zero).
  • Dizer u\in S significa exatamente que A\cdot u = 0_{m\times 1}. O mesmo vale para v\in S.
O que precisamos mostrar é que multiplicando A pelo vetor u+v obtemos o vetor nulo 0_{m\times 1}.

Passo 3

Propriedade chave que usamos: multiplicação de matriz por soma de vetores é distributiva. Ou seja, para qualquer matriz A compatível e quaisquer vetores x,y com dimensão adequada vale
A\,(x+y) = A x + A y.
Isto é uma propriedade básica da multiplicação de matrizes (vem da definição componente a componente). Vou provar essa propriedade passo a passo para não deixar dúvidas.

Passo 4

Prova da distributividade componente a componente (passo a passo):
  • Seja A = (a_{ij}) uma matriz m\times n.
  • Seja x=(x_1,\dots,x_n)^\top e y=(y_1,\dots,y_n)^\top vetores coluna em M_{n\times 1}.
  • O i-ésimo componente de A(x+y) é, pela definição de produto matriz-vetor,
\bigl(A(x+y)\bigr)_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,(x_j + y_j).
  • Usando a distributividade dos números reais dentro da soma:
\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,(x_j + y_j) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j \;+\; \sum_{j=1}^{n} a_{ij}y_j.
  • As duas somas à direita são exatamente (Ax)_i e (Ay)_i. Logo para cada i vale
\bigl(A(x+y)\bigr)_i = (Ax)_i + (Ay)_i.
  • Como isso é verdade para todo i=1,\dots,m, obtemos a igualdade de vetores
A(x+y) = Ax + Ay.
Essa é a justificativa completa e elementar da linearidade que precisamos.

Passo 5

Agora aplicamos isso ao nosso caso específico:
  • Como u\in S temos A u = 0_{m\times 1}.
  • Como v\in S temos A v = 0_{m\times 1}.
  • Pela propriedade do passo anterior,
A(u+v) = A u + A v.
  • Substituindo A u = 0_{m\times 1} e A v = 0_{m\times 1} obtemos
A(u+v) = 0_{m\times 1} + 0_{m\times 1}.
  • E como a soma do vetor nulo com ele mesmo é o vetor nulo,
0_{m\times 1} + 0_{m\times 1} = 0_{m\times 1},
portanto
A(u+v) = 0_{m\times 1}.

Passo 6

Concluímos exatamente o que era pedido: A(u+v)=0_{m\times 1}, ou seja, u+v\in S. Isso prova que S é fechado sob soma de vetores (uma propriedade típica do núcleo de uma matriz).

Passo 7

Escolha
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad u=\begin{pmatrix}2\\[2pt]-1\end{pmatrix},\quad v=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Calculando,
A u = \begin{pmatrix}1\cdot 2 + 2\cdot(-1)\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}, \quad A v = \begin{pmatrix}1\cdot 1 + 2\cdot(-\tfrac{1}{2})\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Logo u,v\in S. Agora
u+v=\begin{pmatrix}3\\[2pt]-\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}
e
A(u+v)=A u + A v = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix},
confirmando na prática que u+v\in S.]

Resposta

u+v \in S

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