(2,0) Sejam
e
. Mostre que se
então
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Temos uma matriz
. - Foi definido o conjunto
por
- A pergunta: mostrar que se
e pertencem a então também pertence a . Em outras palavras, provar que
Passo 2
Vamos fixar o que cada símbolo significa (de forma bem pé no chão):
-
é o conjunto das matrizes com linhas e colunas. -
são vetores coluna com entradas (podemos pensar neles como vetores em ). -
é o vetor nulo com entradas (todas zero). - Dizer
significa exatamente que . O mesmo vale para .
O que precisamos mostrar é que multiplicando
pelo vetor
obtemos o vetor nulo
.
Passo 3
Propriedade chave que usamos: multiplicação de matriz por soma de vetores é distributiva. Ou seja, para qualquer matriz
compatível e quaisquer vetores
com dimensão adequada vale
Isto é uma propriedade básica da multiplicação de matrizes (vem da definição componente a componente). Vou provar essa propriedade passo a passo para não deixar dúvidas.
Passo 4
Prova da distributividade componente a componente (passo a passo):
- Seja
uma matriz . - Seja
e vetores coluna em . - O
-ésimo componente de é, pela definição de produto matriz-vetor,
- Usando a distributividade dos números reais dentro da soma:
- As duas somas à direita são exatamente
e . Logo para cada vale
- Como isso é verdade para todo
, obtemos a igualdade de vetores
Essa é a justificativa completa e elementar da linearidade que precisamos.
Passo 5
Agora aplicamos isso ao nosso caso específico:
- Como
temos . - Como
temos . - Pela propriedade do passo anterior,
- Substituindo
e obtemos
- E como a soma do vetor nulo com ele mesmo é o vetor nulo,
portanto
Passo 6
Concluímos exatamente o que era pedido:
, ou seja,
. Isso prova que
é fechado sob soma de vetores (uma propriedade típica do núcleo de uma matriz).
Passo 7
Escolha
Calculando,
Logo
. Agora
e
confirmando na prática que
.]