Consideremos a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(x, y)=(2 x-y, x+3 y,-2 y). Determine a matriz de T com relação as seguintes bases B do \mathbb{R}^{2} e C do \mathbb{R}^{3}. B=(1,0),(0,1) base canônica do \mathbb{R}^{2} e C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) base canônica do \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado pede a matriz da transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 dada por
T(x,y) = (2x-y,\; x+3y,\; -2y).
As bases fornecidas são B=(1,0),(0,1), que é a base canônica de \mathbb{R}^2, e C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), que é a base canônica de \mathbb{R}^3.
Informações relevantes que o enunciado dá:
A transformação T é linear e está explicitada por componentes em função de x e y.
A base B do domínio é \{(1,0),(0,1)\}.
A base C do contradomínio é \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.
Queremos a matriz de T relativa a B e C.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): para obter a matriz de uma transformação linear T relativamente às bases B=\{v_1,\dots,v_n\} do domínio e C=\{w_1,\dots,w_m\} do contradomínio, procedemos assim:
Aplicamos T em cada vetor da base do domínio: T(v_1),\dots,T(v_n).
Expressamos cada T(v_j) em coordenadas na base C.
A j-ésima coluna da matriz é justamente o vetor coluna das coordenadas de T(v_j) em C.
Aqui, como B e C são as bases canônicas, as coordenadas de um vetor são simplesmente os seus componentes usuais. Logo basta calcular T nos vetores (1,0) e (0,1) e usar esses resultados como colunas.
Passo 3
Calcule T aplicado ao primeiro vetor da base B, que é (1,0).
Tomando x=1 e y=0 em T(x,y)=(2x-y,\;x+3y,\;-2y), temos:
Agora montamos a matriz de T relativa às bases B e C juntando as colunas calculadas, na ordem correspondente aos vetores da base B. Assim a matriz é uma matriz 3\times 2 cujas colunas são T(1,0) e T(0,1):