Consideremos a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(x, y)=(2 x-y, x+3 y,-2 y). Determine a matriz de T com relação as seguintes bases B do \mathbb{R}^{2} e C do \mathbb{R}^{3}.
B=(1,0),(0,1) base canônica do \mathbb{R}^{2} e C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) base canônica do \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede a matriz da transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 dada por
T(x,y) = (2x-y,\; x+3y,\; -2y).
As bases fornecidas são B=(1,0),(0,1), que é a base canônica de \mathbb{R}^2, e C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), que é a base canônica de \mathbb{R}^3.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A transformação T é linear e está explicitada por componentes em função de x e y.
  • A base B do domínio é \{(1,0),(0,1)\}.
  • A base C do contradomínio é \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.
  • Queremos a matriz de T relativa a B e C.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): para obter a matriz de uma transformação linear T relativamente às bases B=\{v_1,\dots,v_n\} do domínio e C=\{w_1,\dots,w_m\} do contradomínio, procedemos assim:
  • Aplicamos T em cada vetor da base do domínio: T(v_1),\dots,T(v_n).
  • Expressamos cada T(v_j) em coordenadas na base C.
  • A j-ésima coluna da matriz é justamente o vetor coluna das coordenadas de T(v_j) em C.
Aqui, como B e C são as bases canônicas, as coordenadas de um vetor são simplesmente os seus componentes usuais. Logo basta calcular T nos vetores (1,0) e (0,1) e usar esses resultados como colunas.

Passo 3

Calcule T aplicado ao primeiro vetor da base B, que é (1,0).
Tomando x=1 e y=0 em T(x,y)=(2x-y,\;x+3y,\;-2y), temos:
T(1,0) = (2\cdot 1 - 0,\; 1 + 3\cdot 0,\; -2\cdot 0) = (2,\;1,\;0).
Como a base C é canônica, as coordenadas de T(1,0) em C são exatamente o vetor coluna
\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},
que será a primeira coluna da matriz procurada.]

Passo 4

Calcule T aplicado ao segundo vetor da base B, que é (0,1).
Tomando x=0 e y=1 em T(x,y), temos:
T(0,1) = (2\cdot 0 - 1,\; 0 + 3\cdot 1,\; -2\cdot 1) = (-1,\;3,\;-2).
As coordenadas de T(0,1) em C são o vetor coluna
\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\\[4pt]-2\end{pmatrix},
que será a segunda coluna da matriz.]

Passo 5

Agora montamos a matriz de T relativa às bases B e C juntando as colunas calculadas, na ordem correspondente aos vetores da base B. Assim a matriz é uma matriz 3\times 2 cujas colunas são T(1,0) e T(0,1):
\begin{pmatrix} 2 & -1\\[4pt] 1 & 3\\[4pt] 0 & -2 \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & -1\\[4pt] 1 & 3\\[4pt] 0 & -2 \end{pmatrix}]

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