By considering different paths of approach, show that the functions in Exercises 35-42 have no limit as (x, y) \rightarrow(0,0).
g(x, y)=\frac{x+y}{x-y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y) não existe, onde
g(x,y)=\frac{x+y}{x-y}.
O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e vamos precisar explorar caminhos de aproximação distintos para verificar se chega-se a valores diferentes.

Passo 2

Considere aproximar (x,y) pela reta y = m x, com m\neq 1 (para evitar divisão por zero). Substituindo em g, obtemos
g(x,mx)\;=\;\frac{x + m\,x}{x - m\,x}\;=\;\frac{1+m}{1-m}.
Esse valor não depende de x, então ao fazer x\to 0 o limite ao longo de y=mx é \tfrac{1+m}{1-m}.

Passo 3

Agora escolha dois coeficientes angulares diferentes:
para m=0 (eixo x):
\lim_{(x,0)\to(0,0)}g(x,0) =\frac{1+0}{1-0}=1,
para m=2:
\lim_{(x,2x)\to(0,0)}g(x,2x) =\frac{1+2}{1-2}=-3.
Como 1\neq -3, obtemos limites distintos por caminhos diferentes.

Resposta

\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x+y}{x-y} não existe.

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