By considering different paths of approach, show that the functions in Exercises 35-42 have no limit as (x, y) \rightarrow(0,0).
g(x, y)=\frac{x-y}{x+y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
g(x,y)=\frac{x-y}{x+y}
não tem limite quando (x,y)\to(0,0). Esse é um problema de limite de função de duas variáveis. Para provar que o limite não existe, vamos escolher dois caminhos de aproximação que levem a valores diferentes.

Passo 2

Considere o caminho de reta genérico y=mx, com m\neq -1 (para manter x+y\neq 0). Substituindo em g obtemos
g(x,mx)=\frac{x-mx}{x+mx}=\frac{1-m}{1+m}.
Note que esse valor independe de x (logo do ponto que se aproxima), mas depende de m.

Passo 3

Escolha m=0 (isto é, y=0). Então
\lim_{x\to0}g(x,0)=\frac{1-0}{1+0}=1.

Passo 4

Escolha m=1 (isto é, y=x). Então
\lim_{x\to0}g(x,x)=\frac{1-1}{1+1}=0.

Passo 5

Como pelo caminho y=0 o limite vale 1 e pelo caminho y=x vale 0, os dois resultados são diferentes. Logo o limite de g(x,y) em (0,0) não existe.

Resposta

O limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x-y}{x+y} não existe.

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