By considering different paths of approach, show that the functions in Exercises 35-42 have no limit as (x, y) \rightarrow(0,0).
h(x, y)=\frac{x^{2}+y}{y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}h(x,y)
não existe, sendo
h(x,y)=\frac{x^{2}+y}{y}.
O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar a ideia de caminhos diferentes: se duas curvas de aproximação fornecem limites distintos, concluímos que o limite não existe.

Passo 2

Considere o caminho linear y=mx com m\neq0. Substituindo em h:
h(x,mx)=\frac{x^{2}+mx}{mx}=\frac{x}{m}+1.
Como x\to0, tem-se
\frac{x}{m}+1\;\longrightarrow\;1.

Passo 3

Agora considere o caminho parabólico y=kx^{2} com k\neq0. Substituindo em h:
h(x,kx^{2})=\frac{x^{2}+kx^{2}}{kx^{2}} =\frac{1+k}{k},
que é uma constante dependente de k. Por exemplo, para k=1 obtemos 2 e para k=2 obtemos \tfrac32.

Passo 4

Observamos que pelo caminho y=mx o limite vale sempre 1, enquanto pelo caminho y=kx^{2} obtemos \tfrac{1+k}{k}\neq1 (por exemplo 2 ou \tfrac32). Como aparecem valores distintos, não há valor único para \lim_{(x,y)\to(0,0)}h(x,y).

Resposta

O limite não existe.

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