By considering different paths of approach, show that the functions in Exercises 35-42 have no limit as
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não existe, sendo
O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar a ideia de caminhos diferentes: se duas curvas de aproximação fornecem limites distintos, concluímos que o limite não existe.
Passo 2
Considere o caminho linear
com
. Substituindo em
:
Como
, tem-se
Passo 3
Agora considere o caminho parabólico
com
. Substituindo em
:
que é uma constante dependente de
. Por exemplo, para
obtemos
e para
obtemos
.
Passo 4
Observamos que pelo caminho
o limite vale sempre
, enquanto pelo caminho
obtemos
(por exemplo
ou
). Como aparecem valores distintos, não há valor único para
.
Resposta
O limite não existe.