By considering different paths of approach, show that the functions in Exercises 35-42 have no limit as (x, y) \rightarrow(0,0).
h(x, y)=\frac{x^{2}}{x^{2}-y}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
h(x,y)=\frac{x^{2}}{x^{2}-y}
e pede para mostrar que não existe \lim_{(x,y)\to(0,0)}h(x,y)
usando abordagens por diferentes caminhos. A ideia é exibir duas trajetórias que levem a limites distintos, o que prova a inexistência do limite.

Passo 2

Considere o caminho y=0. Substituindo em h, para x\neq0:
h(x,0)=\frac{x^{2}}{x^{2}-0} = 1.
Logo, ao nos aproximarmos de (0,0) por esse caminho,
\lim_{x\to0}h(x,0)=1.

Passo 3

Agora considere o caminho x=0. Substituindo em h, para y\neq0:
h(0,y)=\frac{0^{2}}{0 - y} = 0.
Portanto, ao nos aproximarmos de (0,0) por esse outro caminho,
\lim_{y\to0}h(0,y)=0.

Passo 4

Como obtivemos \lim_{x\to0}h(x,0)=1
e \lim_{y\to0}h(0,y)=0
— valores diferentes — não há um único valor de limite quando (x,y)\to(0,0).

Resposta

O limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}}{x^{2}-y} não existe.

Exercícios relacionados